Enunciado

Considere o problema

- x y ' ' + k 2 y x = λ x y ,  

y , y ' limitados quando x → 0 ,   y 1 = 0 ,

onde k é um intervalo positivo.

d) Determine os coeficientes na expansão formal em série

f x = ∑ n = 1 ∞ a n ϕ n x

Passo 1

d) Considere a expansão

f x = ∑ n = 1 ∞ a n ϕ n x

Multiplicando ambos os lados da equação por x ϕ j x e integrando de zero a 1, e usando a ortogonalidade da autofunção

∫ 0 1 x   f x ϕ j x   d x =   ∑ n = 1 ∞ a n ∫ 0 1 x   ϕ j x ϕ n x d x

= a j ∫ 0 1 x ϕ j x ϕ j x d x

Com isso

a j = ∫ 0 1 x   f x ϕ j x d x   ∫ 0 1 x ϕ j x 2 d x   ,   j = 1,2 , …  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 14 a 18, determine se o problema de valor de contorno dado é autoadjunto.15. ( 1 + x 2)y ' ' + 2 x y ' + y = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 ,y ( 1 ) + 2 y ' ( 1 ) = 0
Em cada um dos problemas de 14 a 18, determine se o problema de valor de contorno dado é autoadjunto.15. y ' ' + y = λ y , y 0 - y ' 1 = 0 ,y ' 0 - y 1 = 0
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Em cada um dos problemas de 14 a 18, determine se o problema de valor de contorno dado é autoadjunto.18. ( 1 + x 2)y ' ' + 2 x y ' + y = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 ,y ( 1 ) + 2 y ' ( 1 ) = 0