Enunciado

Em cada um dos problemas de 10 a 13, encontre os coeficientes da expansão em autofunções ∑ n = 1 ∞ a n ϕ n ( x ) da função dada, usando as autofunções normalizadas do problema 4.

10. f x = 1 ,   0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Bom, para começarmos essa questão vamos precisar saber qual autofumção normalizada obtivemos na questão 4 dessa seção.

Ela foi:

ϕ n x = 2 c o s λ n x 3 - c o s 2 λ n

Na resolução da questão 4 dessa seção, tínhamos ainda que (retirada da questão 8 da seção 11.1) o autovalor satisfaz c o s λ n - λ n s e n λ n = 0

Passo 2

Bom, temos aqui da equação (34) desse livro que o coeficiente de expansão é dado por:

c n = ∫ 0 1 f x ϕ n x   d x

Do enunciado temos que f x = 1

Então ficamos como:

= ∫ 0 1 2 c o s λ n x 3 - c o s 2 λ n   d x

= 2 3 - c o s 2 λ n ∫ 0 1 c o s λ n x   d x

= 2 3 - c o s 2 λ n × s e n λ n λ n

= 2 s e n λ n λ n   α n

Resposta

= 2 s e n λ n λ n   α n

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Considere o problema de valores de contorno. Determine, pelo menos aproximadamente, os autovalores reais e as autofunções associadas, procedendo como no Problema 17(a, b).
Considere o problema em que α é uma constante dada. Mostre que λ = 0 é um autovalor, se e somente se α = 1.
Suponha que todos os autovalores são reais.Determine a forma das autofunções e a equação satisfeita pelos autovalores não nulos.
Suponha que todos os autovalores são reais.Encontre valores aproximados para λ1 e λ2, os dois autovalores não nulos de menor módulo.
Considere o problema.Mostre que, se φm e φn são autofunções associadas aos autovalores λm e λn, respectivamente, com λm ≠ λn, então