Enunciado

Nos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a   para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores.

13. y ' ' + π 2 y = a - c o s π x ,   y 0 = 0 ,   y 1 = 0

Passo 1

A forma que queremos chegar quando reescrevemos a equação diferencial é:

- y ' ' = μ y + f ( x )

Observe que essa equação diferencia pode ser reescrita como

- y ' ' = π 2 y + c o s π x - a

O que significa então que temos μ = π 2 e f x = c o s π x - a .

Alem disso podemos concluir ainda que μ = π 2 é um autovalor correspondente a autofunção ϕ 1 x = 2   s e n   π x .

A solução então só vai existir se f x e   ϕ 1 ( x ) forem ortogonais.

∫ 0 1 c o s π x - a s e n π x     d x = - 2 a π

Precisamos que isso resulte em zero, logo existe uma solução desde que a = 0 . Nesse caso a EDO é y ' ' + π 2 y = - c o s π x

Passo 2

A solução complementar será:

y c x = c 1 c o s π x + c 2 s e n π x

A solução particular será:

y p x = A x c o s π x + B x s e n π x

Usando o métdo dos coeficientes indeterminados, encontramos A = 0   e   b = - 1 2 π .

Então, para solução geral teremos:

y x = c 1 c o s π x + c 2 s e n π x - x 2 π s e n π x

Passo 3

Aplicando as condições de contorno teremos que c 1 = 0 . Logo, a solução do problema de valor de contorno é:

y x = c 2 s e n π x - x 2 π s e n π x

Resposta

y x = c 2 s e n π x - x 2 π s e n π x

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