Enunciado

Nos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansões em autofunções.

4. y ' ' + 2 y ' = - x ,   y ' 0 = 0 ,   y ' 1 + y 1 = 0 ;

Veja seção 11.2, Problema 11.

Passo 1

Para resolver essa questãovamos precisar lembrar do resultado da questão 11 da seção 11.2, onde tivemos:

ϕ n ( x ) = 2 2 c o s λ n - 1 λ n α n

Em que α n = 1 + s e n 2 λ n

Temos então:

ϕ n ( x ) = 2 c o s λ n x 1 + s e n 2 λ n

Lembrando ainda que o autovalor satisfaz

c o s λ n - λ n s e n λ n = 0

Passo 2

Obserque que podemos reescrever a equação diferencial como:

- y ' ' = 2 y + x

Como μ = 2 ≠ λ n ,   a solução da equaçãonão homogênea será:

y x = ∑ n = 1 ∞ c n λ n - 2   ϕ n ( x )

Aonde c n será:

c n = ∫ 0 1 f x ϕ n x   d x

= 2 1 + s e n 2 λ n × ∫ 0 1 x cos ⁡ λ n x   d x

= 2 2 cos ⁡ λ n - 1 λ n 1 + s e n 2 λ n

Passo 3

Então, obtemos que a expansão é:

y x = ∑ n = 1 ∞ c n λ n - 2   ϕ n ( x )

y x = ∑ n = 1 ∞ 2 2 cos ⁡ λ n - 1 λ n 1 + s e n 2 λ n λ n - 2 × 2 c o s λ n x 1 + s e n 2 λ n

y x = 2 ∑ n = 1 ∞ 2 2 c o s λ n - 1 c o s λ n x λ n λ n - 2 1 + s e n 2 λ n  

Resposta

y x = 2 ∑ n = 1 ∞ 2 2 c o s λ n - 1 c o s λ n x λ n λ n - 2 1 + s e n 2 λ n  

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