Enunciado

Considere a região englobada por y = arcsinh ⁡ x , y = 0 e x = 1 . Monte, mas não calcule , uma integral que represente o volume do sólido obtido quando a região gira em torno do eixo x usando

(a) discos; (b) camadas cilíndricas.

Passo 1

Para os discos, nós temos a seguinte expressão para obtermos o volume do sólido em torno do eixo x :

V = ∫ a b π f x 2 d x

Assim, substituindo os dados do enunciado:

V = ∫ 0 1 π arcsinh ⁡ x 2 d x

Resolvendo, temos:

V = 1,4683

Para camadas cilindrícas, nós temos a seguinte expressão para obtermos o volume do sólido em torno do eixo y :

V = ∫ a b 2 π x f ( x ) d x

Assim, substituindo os dados do enunciado:

V = 2 π ∫ 0 π 2 y ( 1 - sin ⁡ y ) d y

Resolvendo, temos:

= 2 π ∫ 0 π 2 y d y - ∫ 0 π 2 1 - sin ⁡ y d y

= π y 2 + 2 π y × cos ⁡ y - 2 π sin ⁡ y 0 π 2

= π π 2 2 + 2 π π 2 × cos ⁡ π 2 - 2 π sin ⁡ π 2 - [ - 2 π sin ⁡ 0 ]

Portanto, V = 2 π ∫ 0 π 2 y ( 1 - sin ⁡ y ) d y = π 3 4 - 2 π = 1,4683 .

Prontinho!!

Resposta

  1. 1,4683
  2. 1,4683
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