Enunciado

17. Considere o sistema de van der Pol

x ' = y ,         y ' = - x + μ 1 - x 2 y ,

em que permitimos agora que μ seja qualquer número real.

(a) Mostre que a origem é o único ponto crítico. Determine seu tipo e propriedades de estabilidade, e como eles dependem de μ .

(b) Seja μ   =   - 1 ; desenhe um retrato de fase e conclua que existe uma solução periódica contendo a origem em seu interior. Note que essa solução periódica é instável. Compare seu gráfico com a Figura 9.7.4.

(c) Desenhe um retrato de fase para alguns outros valores negativos de μ . Descreva como a forma da solução periódica varia com   μ .

(d) Considere valores de μ pequenos em módulo, positivos ou negativos. Desenhando retratos de fase, determine como a solução periódica varia quando μ   →   0 . Compare o comportamento do sistema de van der Pol quando μ aumenta passando por zero com o comportamento do sistema no Problema 16.

Passo 1

L e t r a   A :

Para encontramos o ou os pontos críticos, devemos igualar as derivadas a 0 no nosso sistema:

0 = y                                                                          

0 = - x + μ 1 - x 2 y  

Repare então que da primeira equação na segunda...

x = 0

Isso basicamente significa de fato que o único ponto crítico 0 ,   0 .

Passo 2

Beleza! Então para discutir sobre a estabilidade primeiro montemos o nosso sistema localmente linear removendo as informações de quem são F e G :

x ' = y                                                                       →                 F x ,   y = y

y ' = - x + μ 1 - x 2 y                                                                       →                 G x ,   y = - x + μ 1 - x 2 y

Agora encontremos a jacobiana disso:

J x ,   y = F x F y G x G y     →

J x ,   y = 0 1 - 1 - 2 x μ y μ 1 - x 2       →

Substituindo o ponto 0 ,   0 ...

J 0 ,   0 = 0 1 - 1 μ   →

J 0 ,   0 = 0 1 - 1 μ

Então o sistema localmente linear será...

x ' y ' = 0 1 - 1 μ x y

Para provar essa questão estabilidade, vamos ter que buscar os autovalores da matriz:

A = 0 1 - 1 μ     →

Então...

det ⁡ A - λ I = 0     →

det ⁡ - λ 1 - 1 μ - λ = 0   →

- λ μ - λ + 1 = 0   →

λ 2 - λ μ + 1 = 0   →

Resolvendo essa equação do segundo grau...

λ = μ 2 ± μ 2 - 4 2

VEJAMOS PRIMEIRO A CONDIÇÃO DE QUE μ < - 2

λ = μ 2 ± μ 2 - 4 2

Nessa condição, μ 2 - 4 será um número positivo, mas a raiz dele será levemente menor que μ , de modo que, mesmo somando, o resultado de λ ainda será negativo, logo teremos uma estabilidade assintótica e 0 ,   0 será um ponto nodal.

VEJAMOS AGORA A CONDIÇÃO DE QUE - 2 < μ < 0 :

Nessa condição μ 2 - 4 < 0 , então teremos dois autovalores imaginários com a parte real μ 2 , negativa e, portanto, o sistema será estável em espiral.

VEJAMOS AGORA A CONDIÇÃO DE QUE 0 < μ < 2 :

Nessa condição μ 2 - 4 < 0 , então teremos dois autovalores imaginários com a parte real μ 2 , positiva e, portanto, o sistema será instável em espiral.

VEJAMOS AGORA A CONDIÇÃO DE QUE μ ≥ 2 :

Nesse caso, os valores de λ são reais e positivos, logo, gerará um ponto de instabilidade.

Passo 3

L e t r a   B :

Para resolver esse problema daqui, precisamos de programação, afinal devemos resolver o sistema não linear considerando μ = - 1 :

x ' = y ,         y ' = - x + μ 1 - x 2 y

Aqui, como o problema não deixa específico que tipo de programação usar, você pode resolver como bem entender. Eu vou utilizar a linguagem MATLAB:

O meu código está comentado, caso você queira copiar e estuda-lo, mas já adianto que não tem muito segredo, já que o MATLAB já nos define uma função que nos resolve sistemas de EDO: “ode45”.

Essa função depende de da definição das EDO’s que eu programei em uma função:

Perceba eu criei 5, soluções, duas que começam nos pontos 2 ,   0   e - 2 ,   0 e outras 3 que começam nos pontos - 2.2 ,   0 , 2.2 ,   0 e 0 ,   - 2.2 . As duas primeiras estão plotadas em vermelho e as outras três em azul:

Esse é o retrato de fase das soluções e perceba que de fato existe uma solução periódica que contem o centro, já que as curvas tendem a se concentrar nas bordas desse “bolinho”. Além disso, perceba que de fato essa solução periódica é instável, pois qualquer ponto que comece próximo de 2 , ora vão para o infinito, como as azuis, ou vão para o centro, como as vermelhas!

Passo 4

L e t r a   C :

Mudando a função μ na função e q u a c a o para alguns outros valores e plotando o mesmo gráfico:

  • Para μ = - 2.5
  • Para μ = - 2,0
  • Para μ = - 1,5
  • Para μ = - 0,5

    Perceba que a medida que vamos reduzindo μ , as curvas ficam mais concêntricas!

    Passo 5

    L e t r a   D :

  • Para μ = - 0.2 ...
  • Para μ = - 0.1 ...
  • Para μ = 0.1 ...
  • Para μ = 0.2 ...

Perceba que de fato, quanto mais próximo de 0 , cada vez mais vamos deixando de ter espirais e vamos tendo um formato de círculo centrado na origem .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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