Enunciado

3. Considere as superfícies S 1 e S 2 parametrizadas por

φ 1 u , v = u , v , 0

φ 2 u , v = u 3 , v 3 , 0

u , v ∈ R 2

Respectivamente

  1. Mostre que S1 e S2 são o plano XY
  2. Mostre que S1 é regular e que S3 não o é. Conclua que a regularidade de uma superfície S depende da existência de pelo menos uma parametrização na qual S seja regular
  3. É possivel encontrar uma parametrização na qual o cone da figura 7.4 seja regular em 0,0 , 0

Passo 1

  1. Quando queremos saber com que superfície estamos trabalhando, eu sugiro sempre que voltemos pra coordenadas cartesianas. Estamos usando esse tipo de coordenadas há muitos anos. É mais fácil pra gente enxergar as coisas nelas. Então temos
  2. φ 1 u , v = u , v , 0

    x = u

    y = v

    z = 0

    Está percebendo que nem x nem y possuem limitações ? logo isso é um indicativo que estamos trabalhando com algum plano, existir duas variáveis independentes. E por fim temos

    z = 0

    Essa é a equação do Plano XY. Simples assim. Quando olhamos para a outra parametrização

    φ 2 u , v = u 3 , v 3 , 0

    Vemos a mesma coisa. X e Y independentes e z = 0 . Logo também estamos trabalhando com o plano XY

    Passo 2

  3. Quando estamos trabalhando com quadricadas, usar a definição de “não há bicos” para definir sua regularidade é prático. Agora quando Temos um plano , temos que usar a definição formal

Nossa superfície é regular se o vetor normal é não nulo em Todo o Dominio! Isso implica que as derivadas parciais não podem se anular em ponto algum. Se analisarmos φ 1 vemos o seguinte

φ 1 u , v = u , v , 0

Cujas derivas parciais são

∂ φ 1 ∂ u = 1,0 , 0

∂ φ 1 ∂ v = 0 , 1 , 0

Essas derivadas são constantes, logo nunca se anulam. Com isso nosso vetor normal também não se anula. Como podemos ver abaixo

N =   ∂ φ 1 ∂ u × ∂ φ 1 ∂ v  

N = i → j → k → 1 0 0 0 1 0

N = 0,0 , 1

O que não acontece com φ 2 , pois

φ 2 u , v = u 3 , v 3 , 0

Cujas derivas parciais são

∂ φ 2 ∂ u = 3 u 2 , 0,0

∂ φ 2 ∂ v = 0 , 3 v 2 , 0

Essas derivadas se anulam quando   u = 0 e v = 0 , logo nossa normal também vai se anular em alguns pontos. Logo essa parametrização de superfície não é regular.

Passo 2

C. Então, existem duas respostas pra essa pergunta. Uma curta e simples, outra mais formalizada.

A curta – Para ser regular uma superfície não pode ter bicos. E um cone é pontudo, como podemos ver na figura abaixo

Logo não tem como existir nenhuma parametrização que mudasse esse fato, pois é da própria geometria ele ser assim. As parametrizações apenas tentam escrever em “outras línguas” a mesma figura, mas nunca alterando sua forma. Logo um cone não é regular em 0,0 , 0

Agora a definição formal – As derivadas parciais desse sistema têm que existir em todo o domínio e não se anular. Se olharmos para a equação da figura 7.4 temos

z = x 2 + y 2

Ou uma possível parametrização simplinha

r = x , y , x 2 + y 2  

Então nossas derivadas parciais são

∂ r ∂ x = 1,0 , x x 2 + y 2

∂ r ∂ y = 0 , 1 , y x 2 + y 2

Essas derivadas nem estão definidas no ponto 0,0 , 0   logo não é possivel que exista regularidade neste ponto.

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

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