Enunciado

Considere a transformação σ (θ, ρ, φ) = (x, y, z) onde x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ e z = ρ cos φ.

  1. Desenhe σ (B) onde B é o conjunto ρ = ρ 1 ( ρ 1 > 0 constante), 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ π.
  2. Desenhe σ (B) onde B é o paralelepípedo 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ 2π e 0 ≤ φ ≤ π.

Passo 1

  1. Vamos lá, considerando as coordenadas esféricas, temos nesse caso:
  2. x = ρ 1 s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ 1 s e n   ϕ s e n   θ z = ρ 1 cos ⁡ ϕ

    Podemos fazer então:

    x 2 + y 2 + z 2 = ρ 1 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 1 2 s e n 2 ϕ s e n 2 θ + ρ 1 2 cos 2 ⁡ ϕ

    = ρ 1 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ + ρ 1 2 cos 2 ⁡ ϕ

    = ρ 1 2 s e n 2 ϕ + ρ 1 2 cos 2 ⁡ ϕ

    = p 1 2 (   s e n 2 ϕ + cos 2 ⁡ ϕ )

    x 2 + y 2 + z 2 = ρ 1 2

    Ou seja, temos a superfície esférica de raio p 1 .

    O desenho:

    Passo 2

  3. Bom, agora a gente tem uma variação em ρ também, ou seja, nesse caso temos uma esfera de raio 1 .

A equação aqui se torna:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

Se liga na diferença entre esfera e superfície esférica! Superfície esférica é só a “casca” da esfera. Esfera é tudo, roliço, tipo uma bola mesma. A diferença nas equações é o raio fixo ou o raio variando😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dadaA parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 - 4 z = 0 que está acima do plano z = 2
Seja σ u , v = ( x , y , z ) , com x = u cos ⁡ v , y = us e nv e z = u 2 . Mostre que σ transforma a faixa u ≥ 0 , 0 ≤ v ≤ 2 π , no paraboloide z = x 2 + y 2 .
Desenhe a imagem de σ u , v = u , v ,1 - u 2 - v 2 , com u 2 + v 2 ≤ 1 .
Desenhe a imagem de σ u , v = ( cos ⁡ v ,s e nv ,u ) , com 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2 π .
Seja σ u , v = ( x , y , z ) , com x = u cos ⁡ v , y = us e nv e z = u .Mostre que a transformação σ transforma a reta u = u 1 ( u 1 ≠ 0 constante) numa circunferência. Desenhe tal circunferência no c