Enunciado

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 2 em torno de O C .

Passo 1

O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:

V = ∫ a b A ( y ) d y

Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região R 2 , que é delimitada pela função

y = x 4   → y 4 = x

Esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação. No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno da reta x = 0 . Assim, a área do disco é igual a:

A y = π R 2 = π y 4 2 = π y 8

Passo 2

Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração. Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f ( x ) d x = c ∫ f ( x ) d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1   + C

Logo,

∫ π y 8 d y = π ∫ y 8   d y = π y 9 9 + C

Passo 3

Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1. Nossos limites de integração aqui serão a = 0 e b = 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho. Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:

V = ∫ 0 1 π y 8 d y = π y 9 9 0 1

V = π 1 9 = π 9

Resposta

O resultado final é:

V = π 9

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