Enunciado

( a ) Demonstre a parte 3 do teorema 4 .

( b ) Demonstre a parte 5 do teorema 4 .

Passo 1

E aí, tudo bom?! Aqui a gente tem uma questãozinha de demonstração! Temos que demonstrar as partes 3 e 5 do teorema 4 dado no livro!

Mas o que diz esses teoremas?

Bem, vamos imaginar as funções f x e g x e elas são contínuas em x = a , então as seguintes funções compostas são contínuas:

3 .   c f x

5 .   f x g x   s e   g a ≠ 0

Na parte 3 o c é uma constante real!

Para demonstrar que isso é verdade, utilizaremos a seguinte definição de continuidade:

lim x → a ⁡ f x = f a

lim x → a ⁡ g x = g ( a )

A partir disso vamos usar as propriedades de limite:

lim x → a ⁡ c f x   = c lim x → a ⁡ f x  

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x g x     s e   g x ≠ 0

Agora bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar pela letra (a), temos que demonstrar que c f x é contínua! Temos que:

lim x → a ⁡ c f x   = c lim x → a ⁡ f x  

Para o nosso caso temos:

lim x → a ⁡ c f x   = c lim x → a ⁡ f x = c f a

Isso obedece a condição de continuidade que vimos lá no passo 1, portanto se f x é uma função contínua em a , então c f x   também é!

Passo 3

Agora vamos pra letra (b), temos que provar que:

f x g x  

É contínua em x = a desde que g a seja diferente de 0 . Temos que:

lim x → a ⁡ f x g x = l i m x → a   f x l i m x → a   g x     s e   g x ≠ 0

Podemos dizer que:

l i m x → a   f x l i m x → a   g x = f a g a

Como isso obedece a condição de continuidade, então a nossa função composta é contínua!

Resposta

Demonstração

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Defina f o g e determine os números nos quais f o g seja contínua, sendo: f x = xeg x = x 2 - 16
Determine o maior intervalo em que a função composta dada é contínua: f o g x = 9 - x 2
Determine o maior intervalo em que a função composta dada é contínua: f o g x = 16 - x 2
Ache o domínio da função e diga se é contínua nos intervalos: f t = t - 1 t - 1 Intervalos: - ∞ , 1 ; - ∞ , 1; - 1,1 ; - 1 , + ∞ ; ( 1 , + ∞ )
Ache o domínio da função e diga se é contínua nos intervalos: F y = 1 3 + 2 y - y 2 Intervalos: - 1,3 ; - 1,3 ; - 1,3 ; ( - 1,3 ]