Enunciado

Considere os vetores x 1 = t 2 2 t e x 2 = e t e t , responda às mesmas perguntas que no Problema 6.

Passo 1

(a) O wronskiano de W x 1 , x 2 = t 2 e t 2 t e t .

O wronskiano é det ⁡ W :

det ⁡ W = e t t 2 - 2 t e t = t t - 2 e t

Passo 2

(b) Para conhecer se os valores são linearmente independentes, devemos calcular o determinante do wronskiano escalonado .  

t 2 e t 2 t e t = t 2 - 2 t 0 2 t 2 t e t

det ⁡ W = t 2 - 2 t t e t

Sabemos que x 1 e x 2 são linearmente independentes por que o wronskiano não é nulo, exceto quando t = 0 e quando t = 2 , já que isso zera o termo t 2 - 2 t . (c) Em t = 0 e   t = 2 há, então, pelo menos 1 coeficiente inexistente.

Passo 3

(c) Sabemos que:

x 1 = t 2 2 t

x 2 = e t e t

A derivada desses pontos é:

x 1 ' = t 2 2 t a b c d

x 2 ' = e t e t a b c d

O que resulta em:

a t + b = 1

b = 1 - a

Podemos substituir em:

a t 2 + 2 b t = 2 t

Então:

a = 0

b = 1

Do mesmo modo que:

1 = c + d

c = 1 - d

Substituindo:

c t 2 + 2 t d = 2

c = 2 - 2 t t 2 - 2 t

d = 1 - 2 - 2 t t 2 - 2 t = t 2 - 2 t 2 - 2 t

Então, se considerarmos:

x ' = x 1 ' x 2 '

Substituindo os valores, teremos:

x ' = 0 1 2 - 2 t t 2 - 2 t t 2 - 2 t 2 - 2 t x

Resposta

(a) det ⁡ W = t t - 2 e t

(b) Linearmente independentes, exceto em t = 0 e t = 2

(c ) t = 0 e t = 2 .

(d) x ' = 0 1 2 - 2 t t 2 - 2 t t 2 - 2 t 2 - 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Transforme o sistema dado em uma única equação de segunda ordem. x 1 ' = 1,25 x 1 + 0,75 x 2 ; x 2 ' = 0,75 x 1 + 1,25 x 2 (b) Encontre a solução do sistema dado que também satisfaz as condições i
(a) Transforme o sistema dado em uma única equação de segunda ordem. x 1 ' = 3 x 1 - 2 x 2 ; x 2 ' = 2 x 1 - 2 x 2 (b) Encontre a solução do sistema dado que também satisfaz as condições iniciais x 1
Sistemas de equação de primeira ordem podem ser transformados, algumas vezes, em uma única equação de ordem maior. Considere o sistema: x 1 ' = - 2 x 1 + x 2 ; x 2 ' = x 1 - 2 x 2 (a) Resolva a primei
Transforme as equações: d I d t = V L ; d V d t = - I C - V R C Para o circuito em paralelo em uma única equação de segunda ordem.
Sejam x = x 1 t , y = y 1 t e x = x 2 t , y = y 2 t duas soluções do sistema linear não-homogêneo x ' = p 11 t x + p 12 t y + g 1 ( t ) ; y ' = p 21 t x + p 22 t y + g 2 ( t ) Mostre que x = x 1 t - x