Enunciado

Sistemas de equação de primeira ordem podem ser transformados, algumas vezes, em uma única equação de ordem maior. Considere o sistema:

x 1 ' = - 2 x 1 + x 2 ;

x 2 ' = x 1 - 2 x 2

(a) Resolva a primeira equação para x 2 e substitua na segunda equação, obtendo, assim, uma equação de segunda ordem para x 1 . Resolva essa equação para x 1 e depois determine também x 2 .

(b) Encontre a solução do sistema dado que também satisfaz as condições iniciais x 1 0 = 2 , x 2 0 = 3 .

(c) Esboce a curva, para t ≥ 0 , dada em forma paramétrica pelas expressões para x 1 e x 2 encontradas em (b).

Passo 1

O item (a) nos pede para resolver o sistema de equações. Para isso, vamos primeiro deixar x 2 em função de x 1 :

x 1 ' = - 2 x 1 + x 2

x 2 = x 1 ' + 2 x 1

Substituindo x 2 na segunda equação:

x 2 ' = x 1 - 2 x 2

x 1 ' + 2 x 1 ' = x 1 - 2 ( x 1 ' + 2 x 1 )

x 1 ' ' + 2 x 1 ' = x 1 - 2 x 1 ' - 4 x 1

x 1 ' ' + 4 x 1 ' + 3 x 1 = 0

Se x 1 = e c t ,

x 1 ' = c e c t

x 1 ' ' = c 2 e c t

Então, nossa equação fica:

c 2 e c t + 4 c e c t + 3 e c t = 0

e c t c 2 + 4 c + 3 = 0

c 2 + 4 c + 3 = 0

c = - 1   e   c = - 3

Então a solução para x 1 é:

x 1 = C 1 e - t + C 2 e - 3 t

Em que C 1 e C 2 são duas constantes quaisquer.

Agora que encontramos x 1 podemos usá-lo para obter x 2 :

x 2 = x 1 ' + 2 x 1

x 2 = C 1 e - t + C 2 e - 3 t ' + 2 ( C 1 e - t + C 2 e - 3 t )

x 2 = - C 1 e - t - 3 C 2 e - 3 t + 2 C 1 e - t + 2 C 2 e - 3 t

x 2 = C 1 e - t - C 2 e - 3 t

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para encontrar as funções x 1 ( t ) e x 2 ( t ) que também atendem aos valores de condição inicial x 1 0 = 2 , x 2 0 = 3 .

Como vimos no item (a) a função x 1 que é solução do problema é:

x 1 = C 1 e - t + C 2 e - 3 t

Para t = 0 :

x 1 0 = 2 = C 1 e 0 + C 2 e 0

2 = C 1 + C 2

Analogamente, encontramos a solução para x 2 :

x 2 = C 1 e - t - C 2 e - 3 t

Para t = 0 :

x 2 0 = 3 = C 1 e 0 - C 2 e 0

3 = C 1 - C 2

Ficamos então com o seguinte sistema:

2 = C 1 + C 2 3 = C 1 - C 2

Então:

5 = 2 C 1 → C 1 = 5 2

C 2 = 2 - C 1 → C 2 = - 1 2

Substituindo as cosntantes C 1 e C 2 nas funções solução:

x 1 = 5 2 e - t - 1 2 e - 3 t

x 2 = 5 2 e - t + 1 2 e - 3 t

Passo 3

Nosso último passo é desenhar as curvas x 1 e x 2 que encontramos no item (b). Elas são esboçadas a seguir:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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