Enunciado

Ache a equação da reta tangente à curva y = x x - 1 em (2,2)

Passo 1

Propriedades de Derivada

d d x   f   o   g a x = f ' g a x .   g ' a x .   a   ;   Sendo “a” uma constante.

d d x   x n = n   x n - 1  

d d x   a f ( x ) = l n a   .   a f ( x ) .   d d x f ( x )  

d d x   f ( x )   .   g ( x )   = f ' g + g ' f   [ R e g r a   d a   C a d e i a ]

Propriedade do Expoente

a b = e b ln ⁡ a

Passo 2

Primeiramente

x x - 1 = e l n ⁡ ( x ) x - 1

Achar a reta tangente em uma curva num ponto é achar a derivada da função nesse ponto.

Queremos uma função neste formato : y = Ax +b

E sabemos que A = d f x 0 d x

Entao precisamos agora Derivar f(x)

d d x e l n ⁡ ( x ) x - 1 =   e l n ⁡ ( x ) x - 1   .   1   .   l n x + 1 x x - 1

= x x - 1       l n x + 1 x x - 1

No ponto onde x=2 temos :

= 2 2 - 1       l n 2 + 1 2 2 - 1

= 2(ln2 +1/2 )

= 2 ln2 +1

Passo 3

Achando a equação da reta

y = Ax +b

A = 2 l n 2 + 1

Nosso ponto é (2,2)

Logo podemos achar b

2 = 2 l n 2 + 1 2 + b  

B = -4 ln 2

A reta tangente é portanto y = 2 l n 2 + 1 x - 4 l n 2

Olhando para o gráfico, temos em verde a curva f(x) e em azul a reta tangente elas se interceptando em (2,2)

Resposta

A reta tangente é y = 2 l n 2 + 1 x - 4 l n 2

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