Enunciado

Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

2 π 24 ≤ ∫ π 6 π 4 cos ⁡ x   d x ≤ 3 π 24

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos verificar a desigualdade sem calcular a integral:

2 π 24 ≤ ∫ π 6 π 4 cos ⁡ x   d x ≤ 3 π 24

Para isso, devemos utilizar apenas as propriedades das integrais,

Então... para resolvermos isso devemos analisar a função dentro da integral e entender o seu significado... os seus limites.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Vamos chamar a função que está sendo integrada de f , ou seja f x = cos ⁡ x .

Sabemos que a função cosseno no intervalo [ 0 , π 2 ] é decrescente, então no intervalo π 6 , π 4 temos um mínimo em x = π 4 cujo valor mínimo absoluto é f π 4 = 2 2 .

E temos também um valor máximo absoluto em x = π 6 cujo valor máximo é f π 6 = 3 2 .

Passo 3

Uma propriedade das integrais nos diz que se tivermos uma função f ( x ) contínua em um intervalo a , b com um máximo absoluto M e um mínimo absoluto m , então a área do gráfico de f é menor ou igual que a área do retângulo de altura M e maior ou igual que o retângulo de altura m .

Em termos matemáticos, isso quer dizer que:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x   ≤ M b - a

Se tomarmos no caso da questão, a = π 6 e b = π 4 de modo que:

b - a = π 4 - π 6 = π 12

Então:

m   π 12 ≤ ∫ π 6 π 4 f x d x   ≤ M   π 12

Passo 4

Como temos o valor mínimo de f , sendo ele m = 2 2 , de modo que o valor máximo seja M = 3 2 temos:

2 2   π 12 ( 1 ) ≤ ∫ π 6 π 4 f x d x   ≤ 3 2   π 12

Lembrando que f x = cos ⁡ x , temos que:

2 π 24 ≤ ∫ π 6 π 4 cos ⁡ x   d x ≤ 3 π 24

Resposta

A desigualdade é verdadeira.

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