Enunciado

Demonstre a propriedade 6 das integrais.

Passo 1

A propriedade 6 , nos diz que se f x ≥ 0 para a ≤ x ≤ b , então:

∫ a b f x   d x ≥ 0

Passo 2

Escrevendo pelo limite da soma:

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Como Δ x é um intervalo não negativo e f x i ≥ 0 , então:

f x i Δ x ≥ 0

Passo 3

Se f x i Δ x ≥ 0 ocorre em a ≤ x ≤ b , então nesse intervalo, a soma de n termos não negativos é um número não negativos, logo:

∑ i = 1 n f x i Δ x ≥ 0

Então, o limite desse número não negativo quando mandamos o número de termos para o infinito, também é não negativo, ou seja:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x ≥ 0

Como esse limite é a própria integral, mostramos que:

∫ a b f x   d x ≥ 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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b)∫ x d x
e)∫ x 2 5 d x
d)∫ x d x
c)∫ x 5 d x
s)∫ 3 x + 2 x 3 d x