Enunciado

Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.

a n = n - 1 n

Passo 1

Fala, galerinha! Nessa questão temos que verificar se a sequência é limitada e monotônica. Caso isso seja verdade, então ela converge. Preparados? Vem comigo!

Vamos começar buscando mostrar que ela é limitada. Temos

0 < 1 n ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ - 1   n < 0   ( m u l t i p l i c a n d o   p o r   - 1 )

e

0 < n ⇒ - 1 < n - 1

Então,

- 1 < n - 1 ≤ n - 1 n < n

Ok, conseguimos mostrar o limite inferior. Já para o limite superior, isso não é possível para n , que é ilimitado superiormente. Então, a sequência não é limitada.

Passo 2

Agora vamos testar a monotonicidade. Fazendo o mesmo passo da questão anterior, temos que

a n + 1   =   n + 1   -   1 n   +   1   =   n 2   +   2 n n   +   1

e

a n = n - 1 n   =   n 2   -   1 n

Então, tomando a diferença entre a n + 1 e a n :

a n + 1   -   a n = n 2   +   2 n   n   +   1   -   n 2   -   1 n   =   n 3   +   2 n 2   -   ( n 3 -   n   +   n 2   - 1 ) n ( n   +   1 )   =   n 2   +   n   +   1 n 2 +   n

⇒ a n + 1   -   a n =   n 2 +   n   +   1 n 2 +   n   >   0  

⇒ a n + 1 >   a n  

Logo, podemos concluir que a sequência é crescente pois seu numerador é maior que o denominador em uma unidade, sendo sempre maior que zero. Ou seja, a sequência é monotônica. Porém, por não ser limitada, essa sequência diverge.

Resposta

Diverge.

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