Enunciado

Uma sequência de números racionais é descritiva a seguir :

1 1 , 3 2 , 7 5 , 17 12 , … … … a b , a + 2 b a + b , …

Aqui os numeradores formam uma sequência, os denominadores formam uma segunda sequência e suas razões formam uma terceira sequência. Sejam x n   e   y n , respectivamente, o numerador e o denominador da n-ésima fração r n = x n y n

a) verifique que x 1 2 - 2 y 1 2 = - 1 ,   x 2 2 - 2 y 2 2 = 1   e , mais genericamente, que a 2 - 2 b 2 = - 1   o u   1 , então

a + 2 b 2 - 2 a + b 2 =   + 1   o u - 1   , respectivamente.

b) as frações r n = x n y n se aproximam de um limite à medida que n aumenta. Qual é esse limite ? (sugestão : use o item (a) para mostrar que r n 2 - 2 = ± 1 y n 2 e que y n não é menor que n.)

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Então para resolvermos a letra (a) desta questão temos que,

1 2 - 2 1 2 = 1  

3 2 - 2 2 2 = 1

Através disso podemos dizer que,

f a , b = a + 2 b 2 - 2 a + b 2 = a 2 + 4 a b + 4 b 2 - 2 a 2 - 4 a b - 2 b 2 = 2 b 2 - a 2 ;   a 2 - 2 b 2 = - 1

f a , b = 2 b 2 - a 2 = 1 ;

a 2 - 2 b 2 = 1

f a , b = 2 b 2 - a 2 = - 1

Passo 2

Já na letra (b), vamos ter que,

r n 2 - 2 = a + 2 b a + b 2 - 2 = a 2 + 4 a b + 4 b 2 - 2 a 2 - 4 a b - 2 b 2 a + b 2 = - a 2 - 2 b a + b 2   = ± 1 y n 2 → r n = 2 ± 1 y n 2

Percebemos que na primeira e na segunda fração y n ≥ n . Deixando a b representar a fração n - 1 onde a b ≥ 1   e   b ≥ n - 1 para n um inteiro positivo ≥ 3 . Agora a enésima fração é a + 2 b a + b e a + b ≥ 2 b ≥ 2 n - 2 ≥ n

y n ≥ n   , com isso

lim n → ∞ ⁡ r n = 2

Resposta

lim n → ∞ ⁡ r n = 2

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