Enunciado

a) Suponha que f ( x ) seja derivável para todo x em [ 0,1 ] e que f 0 = 0 . Defina a sequência { a n } pela regra a n = n f 1 n .   mostre que lim n → ∞ ⁡ a n = f ' 0 . Utilize o resultado do item (a) para encontrar os limites das seguintes sequências { a n }

b) a n = n tan - 1 ⁡ 1 n

c) a n = n ( e 1 n - 1 )

d) a n = n ln ⁡ 1 + 2 n

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Na letra (a) vamos ter que,

lim n → ∞ ⁡ n f 1 n = lim ∆ x → 0 + 1 ⁡ f ( ∆ x ) ∆ x =   l i m ∆ x → 0 + 1 f 0 + ∆ x - f ( 0 ) ∆ x = f ' 0 , onde ∆ x = 1 n

Na letra (b) temos que,

lim n → ∞ ⁡ n tan - 1 ⁡ 1 n = f ' 0 = 1 1 + 0 2 = 1 ,   f x = tan - 1 ⁡ x

Passo 2

Já na letra ( c ), seguindo a mesma resolução das demais, temos que,

lim n → ∞ ⁡ n e 1 n - 1 = f ' 0 = e 0 = 1 ,         f x = e x - 1  

E para finaizar a letra (d) , vamos ficar com,

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ 1 + 2 n = f ' 0 = 2 1 + 2 ( 0 ) = 2 ,

f x = ln ⁡ ( 1 + 2 x )

Resposta

a) f ' 0 , onde ∆ x = 1 n

b)   1 ,   f x = tan - 1 ⁡ x

c)   1 ,         f x = e x - 1

d)   2 ,     f x = ln ⁡ ( 1 + 2 x )

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