Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

I = ∫ 0 1 d x 1 - x

E pretende-se verificar:

l i m a → 1 - ∫ 0 a d x 1 - x = l i m b → 1 + ∫ 0 b d x 1 - x

Aplicando o método da substituição simples, podemos dizer que u = 1 - x , tal que d u = - d x e a integral se dará por:

∫ 1 u - d u = - 2 u

Retornando à variável original:

I = l i m a → 1 - - 2 1 - x | a 0

Substituindo os limites de integração:

I = - 2 l i m a → 1 - 1 - a - 1 = - 2 - 1

I = 2

Pode-se observar que o outro limite lateral terá o mesmo resultado e, portanto, a condição é verificada e o limite existe.

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em ± ∞ , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

∫ 0 1 d x 1 - x = 2

A integral é convergente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados