Enunciado

Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

I = int_0^1 (d x)/(sqrt(1 - x))

E pretende-se verificar:

underset(a -> 1^-)(l i m) int_0^a (d x)/(sqrt(1 - x)) = underset(b -> 1^+)(l i m) int_0^b (d x)/(sqrt(1 - x))

Aplicando o método da substituição simples, podemos dizer que u = 1 - x , tal que d u = - d x e a integral se dará por:

int (1)/(sqrt(u)) (- d u) = - 2 sqrt(u)

Retornando à variável original:

I = underset(a -> 1^-)(l i m) [- 2 sqrt(1 - x)] | [[a],[0]]

Substituindo os limites de integração:

I = - 2 underset(a -> 1^-)(l i m) [sqrt(1 - a) - sqrt(1)] = (- 2) [- 1]

I = 2

Pode-se observar que o outro limite lateral terá o mesmo resultado e, portanto, a condição é verificada e o limite existe.

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em +- oo , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

int_0^1 (d x)/(sqrt(1 - x)) = 2

A integral é convergente.

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Mais adiante no livro, no Volume 2, mostraremos que ∫ 0 + ∞ e - x 2 d x = π 2 Confirme que isso é razoável usando um CAS ou uma calculadora com capacidade de integração numérica.