É convergente ou divergente? Justifique.

∫ 1 ∞ 1 x 5 + 3 x + 1   d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Note que

1 x 5 + 3 x + 1 = 1 x 5 ⋅ 1 1 + 3 x 4 + 1 x 5

Para x ≥ 1 , segue que x 4 ≥ 1 e x 5 ≥ 1 . Assim,

3 x 4 ≤ 1             e         1 x 5 ≤ 1

Portanto,

3 x 4 + 1 x 5 ≤ 2 ⇒ 1 + 3 x 4 + 1 x 5 ≤ 3

Logo,

1 1 + 3 x 4 + 1 x 5 ≤ 1 3

Assim,

1 x 5 + 3 x + 1 = 1 x 5 ⋅ 1 1 + 3 x 4 + 1 x 5 ≤ 1 3 x 5

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

∫ a ∞ 1 x α   d x

sempre convergem se α > 1 . Neste caso, temos α = 5 , de modo que a integral

∫ 1 ∞ 1 3 x 5   d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

1 x 5 + 3 x + 1 ≤ 1 3 x 5

E a integral

∫ 1 ∞ 1 3 x 5   d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

∫ 1 ∞ 1 x 5 + 3 x + 1   d x

também será convergente!

Resposta

Converge.

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