Enunciado

É convergente ou divergente? Justifique.

int_1^(oo) (1)/(x^5 + 3 x + 1) d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Note que

(1)/(x^5 + 3 x + 1) = (1)/(x^5) * (1)/(1 + (3)/(x^4) + (1)/(x^5))

Para x >= 1 , segue que x^4 >= 1 e x^5 >= 1 . Assim,

(3)/(x^4) <= 1 e (1)/(x^5) <= 1

Portanto,

(3)/(x^4) + (1)/(x^5) <= 2 => 1 + (3)/(x^4) + (1)/(x^5) <= 3

Logo,

(1)/(1 + (3)/(x^4) + (1)/(x^5)) <= (1)/(3)

Assim,

(1)/(x^5 + 3 x + 1) = (1)/(x^5) * (1)/(1 + (3)/(x^4) + (1)/(x^5)) <= (1)/(3 x^5)

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

int_a^(oo) (1)/(x^(alpha)) d x

sempre convergem se alpha > 1 . Neste caso, temos alpha = 5 , de modo que a integral

int_1^(oo) (1)/(3 x^5) d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

(1)/(x^5 + 3 x + 1) <= (1)/(3 x^5)

E a integral

int_1^(oo) (1)/(3 x^5) d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

int_1^(oo) (1)/(x^5 + 3 x + 1) d x

também será convergente!

Resposta

Converge.

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