É convergente ou divergente? Justifique.

∫ 1 ∞ cos ⁡ 3 x x 3   d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Bom, sabemos que

- 1 ≤ cos ⁡ 3 x ≤ 1

Ou ainda,

cos ⁡ 3 x ≤ 1

Assim, temos que

cos ⁡ 3 x x 3 ≤ 1 x 3

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

∫ a ∞ 1 x α   d x

sempre convergem se α > 1 . Neste caso, temos α = 3 , de modo que a integral

∫ 1 ∞ 1 x 3   d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

e 1 x x 2 ≤ e x 2

E a integral

∫ 1 ∞ e x 2   d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

∫ 1 ∞ cos ⁡ 3 x x 3   d x

também será convergente! Mas essa ainda não é a integral do problema. Para isso, temos que recorrer ao exemplo 3 resolvida na seção 4.4 do livro:

Se ∫ a ∞ f x   d x converge, então ∫ a ∞ f x   d x também converge.

Assim, como a integral de cos ⁡ 3 x x 3 converge, segue que

∫ 1 ∞ cos ⁡ 3 x x 3   d x

também converge.

Resposta

Converge.

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