É convergente ou divergente? Justifique.

∫ 2 ∞ 1 x 2 ln ⁡ x   d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Bom, vamos quebrar a integral em duas:

∫ 2 ∞ 1 x 2 ln ⁡ x   d x = ∫ 2 e 1 x 2 ln ⁡ x   d x + ∫ e ∞ 1 x 2 ln ⁡ x   d x

A primeira integral existe e será igual a um número. Como só queremos analisar se há ou não convergência, não precisamos calcular esse número. Vamos olhar agora para a segunda integral:

Para x ≥ e , segue que ln ⁡ x ≥ 1 . Assim

x 2 ln ⁡ x ≥ x 2

Logo,

1 x 2 ln ⁡ x ≤ 1 x 2

Eu quebrei a integral em duas partes justamente porque para 2 < x < e , ln ⁡ x seria menor que 1 e não seria possível fazer a comparação...

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

∫ a ∞ 1 x α   d x

sempre convergem se α > 1 . Neste caso, temos α = 2 , de modo que a integral

∫ e ∞ 1 x 2   d x

é convergente.

Passo 3

Desta forma, usando o teorema da comparação, tiramos que

∫ e ∞ 1 x 2 ln ⁡ x   d x

converge. Assim, como

∫ 2 ∞ 1 x 2 ln ⁡ x   d x = ∫ 2 e 1 x 2 ln ⁡ x   d x + ∫ e ∞ 1 x 2 ln ⁡ x   d x

e a primeira integral do lado direito dá um número e a segunda converge, segue que a integral do lado esquerdo converge.

Resposta

Converge.

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