É convergente ou divergente? Justifique.

∫ 4 ∞ 2 x - 3 x 3 - 3 x 2 + 1   d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Note que podemos escrever

2 x - 3 x 3 - 3 x 2 + 1 = 8 x 2 ⋅ x 4 - 3 16 x - 3 + 1 x 2

Vamos olhar para a função:

f x = x 4 - 3 16 x - 3 + 1 x 2

Plotando f para x ≥ 4 :

Note que f x < 1 , de modo que

2 x - 3 x 3 - 3 x 2 + 1 ≤ 8 x 2

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

∫ a ∞ 1 x α   d x

sempre convergem se α > 1 . Neste caso, temos α = 2 , de modo que a integral

∫ 4 ∞ 8 x 2   d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

2 x - 3 x 3 - 3 x 2 + 1 ≤ 8 x 2

E a integral

∫ 4 ∞ 8 x 2   d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

∫ 4 ∞ 2 x - 3 x 3 - 3 x 2 + 1   d x

será convergente!

Resposta

Converge.

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