É convergente ou divergente? Justifique.

∫ - ∞ ∞ 1 x 4 + x 2 + 1   d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Neste caso, como o integrando é par, só precisamos nos preocupar com a integral de 0 até infinito. Se ela convergir, então a integral de menos infinito até zero vai convergir também, de modo que a integral dada será convergente.

Portanto, olhemos para

∫ 0 ∞ 1 x 4 + x 2 + 1   d x = ∫ 0 1 1 x 4 + x 2 + 1   d x + ∫ 1 ∞ 1 x 4 + x 2 + 1   d x

Note que a primeira integral do lado direito será simplesmente um número. Como só estamos analisando a convergência, não precisamos perder tempo tentando calcular esse número...

Para x ≥ 1 :

x 4 + x 2 + 1 ≥ x 4 ⇒ 1 x 4 + x 2 + 1 ≤ 1 x 4

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

∫ a ∞ x - α   d x

sempre convergem se α > 1 . Neste caso, temos α = 4 , de modo que a integral

∫ 1 ∞ 1 x 4   d x

é convergente.

Passo 3

Assim, a integral

∫ 1 ∞ 1 x 4 + x 2 + 1   d x

também será convergente. Portanto, como

∫ 0 1 1 x 4 + x 2 + 1   d x

é um número finito e

∫ 1 ∞ 1 x 4 + x 2 + 1   d x

converge, segue que

∫ 0 ∞ 1 x 4 + x 2 + 1   d x

é convergente. Assim, temos que

∫ - ∞ ∞ 1 x 4 + x 2 + 1   d x

converge!

Resposta

Converge.

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