Enunciado

É convergente ou divergente? Justifique.

int_(- oo)^(oo) (1)/(x^4 + x^2 + 1) d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Neste caso, como o integrando é par, só precisamos nos preocupar com a integral de 0 até infinito. Se ela convergir, então a integral de menos infinito até zero vai convergir também, de modo que a integral dada será convergente.

Portanto, olhemos para

int_0^(oo) (1)/(x^4 + x^2 + 1) d x = int_0^1 (1)/(x^4 + x^2 + 1) d x + int_1^(oo) (1)/(x^4 + x^2 + 1) d x

Note que a primeira integral do lado direito será simplesmente um número. Como só estamos analisando a convergência, não precisamos perder tempo tentando calcular esse número...

Para x >= 1 :

x^4 + x^2 + 1 >= x^4 => (1)/(x^4 + x^2 + 1) <= (1)/(x^4)

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

int_a^(oo) x^(- alpha) d x

sempre convergem se alpha > 1 . Neste caso, temos alpha = 4 , de modo que a integral

int_1^(oo) (1)/(x^4) d x

é convergente.

Passo 3

Assim, a integral

int_1^(oo) (1)/(x^4 + x^2 + 1) d x

também será convergente. Portanto, como

int_0^1 (1)/(x^4 + x^2 + 1) d x

é um número finito e

int_1^(oo) (1)/(x^4 + x^2 + 1) d x

converge, segue que

int_0^(oo) (1)/(x^4 + x^2 + 1) d x

é convergente. Assim, temos que

int_(- oo)^(oo) (1)/(x^4 + x^2 + 1) d x

converge!

Resposta

Converge.

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