Enunciado

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ 4 ∞ d x x - 1

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação do limite.

O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) e o limite da função f x g ( x ) for um número finito, então as funções f ( x ) e g ( x ) se comportam da mesma maneira, ou seja, ambas convergem ou ambas divergem.

Parece complicado, mas na prática é bem simples. Veja só...

Passo 2

Seja f x =   1 x - 1 (a função da integral) e g x = 1 x . Então, iremos calcular:

lim x → ∞ ⁡ f x g x = l i m x → ∞   1 x - 1 1 x =   l i m x → ∞ x x - 1 = l i m x → ∞   x x = 1

Como o limite deu finito, as duas funções se comportam da mesma maneira.

Vamos ver na g ( x ) então...

Passo 3

∫ 4 ∞ 1 x d x

Bom, sempre que temos uma integral do tipo ∫ a ∞ 1 x p   d x se p > 1 a integral converge, e se     p ≤ 1 , a integral diverge.

Então, a nossa que é ∫ 4 ∞ 1 x d x diverge não é mesmo? ( x = x 1 2 → 1 2 < 1 )

Então, se ela diverge, a outra também diverge.

A integral ∫ 4 ∞ d x x - 1   diverge.

Resposta

∫ 4 ∞ d x x - 1 diverge.

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