Enunciado

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ 0 1 e - x x d x  

Passo 1

Façamos y = x vamos ter d y = 1 2 x   d x e chegamos em:

2 ∫ 0 1 e - y d y

Essa podemos resolver por integração normal...

Passo 2

2 ∫ - e - y d y = 2 e - y = 2 e - x ] 1 0 = 2 e - 1 - 2 e 0 =   - 2 e - 2  

Vamos agora usar o limite para calcular:

lim b → ∞ ⁡ e - 1 x ] ln ⁡ 2   b =   l i m b → ∞   e - 1 l n 2 - e 1 b =   e - 1 l n 2 - 0 =   e - 1 l n 2  

Então, a integral converge.

Resposta

∫ 0 1 e - x x d x   converge.

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Nos exercícios 27 a 29, ache os valores de n para os quais a integral imprópria converge e para esses valores calcule a integral.28. ∫ 0 1 x n l n x d x
32. Dada a integral imprópria ∫ a b d x x - a n onde ba, determine se a integral é convergente ou divergente em cada um dos casos: (a) 0 1. Se a integral for convergente, calcule-a.
33. Use integração para provar que a circunferência do círculo x 2 + y 2 = a 2 é 2 π a .
Nos exercícios 27 a 29, ache os valores de n para os quais a integral imprópria converge e para esses valores calcule a integral.29. ∫ 0 1 x n ln 2 ⁡ x d x
Nos exercícios 27 a 29, ache os valores de n para os quais a integral imprópria converge e para esses valores calcule a integral.27. ∫ 0 1 x n d x