Enunciado

As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.

(i) Encontre as coordenadas polares ( r ,   θ ) do ponto, onde r > 0 e 0 ≤ θ < 2 π .

(ii) Encontre as coordenadas polares ( r ,   θ ) do ponto, onde r < 0 e 0 ≤ θ < 2 π .

a) - 1 ,   - 3 b) - 2 ,   3

Passo 1

Então meu amigo, vamos resolver essa atividade juntos.

O problema fornece as coordenadas de dois pontos em coordenadas cartesianas e pede para acharmos as coordenadas polares. Temos os pontos:

- 1 ,   - 3

- 2 ,   3

Para isso, lembre-se que

x = r cos ⁡ θ               y = r   s e n   θ           r 2 = x 2 + y 2

Assim, para que possamos encontrar as coordenadas em coordenadas polares, deveremos encontrar o valor de r , depois iremos substituir nas equações de x e y e assim encontramos o valor de θ .

Passo 2

Para - 1 ,   - 3 :

Vamos de encontrar o valor de r :

r 2 = 1 + 3 = 4

r = 2

Portanto,

cos ⁡ θ = x r = - 1 2

s e n   θ = y r = - 3 2

O ângulo deve estar no terceiro quadrante como podemos ver pelo círculo trigonométrico:

θ = 4 π 3

Logo, as coordenadas polares desse ponto são:

2 , 4 π 3

Para descrever esse ponto com r < 0 , se somarmos π no ângulo vamos obter θ > 2 π . Assim, neste caso vamos subtrair π . Ou você pode observar que como temos o raio oposto ao, é só caminhar ao ângulo oposto no círculo trigonométrico que mostramos:

- 2 , 4 π 3 - π

- 2 , π 3

Passo 3

Basta fazer o mesmo com o segundo ponto:

- 2 ,   3

Calculando o raio:

r 2 = 4 + 9 = 13

r = 13

Assim,

cos ⁡ θ = - 2 13

s e n   θ = 3 13

Portanto, vemos que o ângulo está no segundo quadrante.

Poderíamos dizer que θ seria o arco seno de 3 / 13 , mas aqui aparece um problema: a função arco seno está definida para o primeiro e quartos quadrantes. Uma forma de resolver esse problema:

θ = π - a r c s e n   3 13

Assim,

13 ,   π - a r c s e n   3 13

Para r < 0 , basta somar π no ângulo:

- 13 ,   2 π - a r c s e n   3 13

Resposta

2 , 4 π 3                 e               - 2 , π 3

13 ,   π - a r c s e n   3 13               e               - 13 ,   2 π - a r c s e n   3 13

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