Enunciado

Mostre que a curva polar r = 4 + 2 sec ⁡ θ (chamada conchóide) tem a reta x = 2 como uma assíntota vertical mostrando que no limite lim r → ± ∞ ⁡ x = 2 . Use esse fato para ajudar a esboçar a conchóide.

Passo 1

O exercício fornece uma curva em coordenadas polares:

r = 4 + 2 sec ⁡ θ = 4 + 2 cos ⁡ θ

É pedido para mostrarmos que a reta x = 2 é uma assíntota vertical. Para isso, temos que mostrar que

lim r → ± ∞ ⁡ x = 2

Note que r → ± ∞ quando θ → ± π 2 . Assim, temos que tomar o limite de x quando θ → ± π / 2 .

Passo 2

Como x = r cos ⁡ θ :

x = 4 + 2 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ = 4 cos ⁡ θ + 2

Quando θ → ± π / 2 , cos ⁡ θ → 0 . Assim,

x → 2

Portanto, quando r explode, x → 2 . Assim, a reta x = 2 é assíntota vertical da curva. Um esboço dela é dado a seguir:

Resposta

Demonstração e esboço.

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Trace a curva x = y - 2 sen ⁡ π y
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = - 2 sen ⁡ θ
18. Trace a parábola r = 4 / ( 5 + 6 cos ⁡ θ ) e sua diretriz. Também trace a curva obtida pela rotação dessa parábola ao redor de seu foco por um ângulo.
A ) Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumentaB ) Elimine os parâmetros para encontrar uma equação
A ) Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumentaB ) Elimine os parâmetros para encontrar uma equação