Enunciado

As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.

  1. Encontre as coordenadas polares ( r ,   θ ) do ponto, onde r > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .
  2. Encontre as coordenadas polares ( r ,   θ ) do ponto, onde r < 0 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .
  1. - 4,4
  2. 3 ,   3 3

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui, nós iremos, eu e você, encontrarmos as coordenadas polares dos pontos:

3 ,   - 1

- 6,0

Para isso, iremos utilizar a relação:

x = r c o s   θ

y = r   s e n   θ

r 2 = x 2 + y 2

A figura abaixo vai te ajudar a visualizar melhor como é a relação entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas:

Passo 2

  1. Vamos lá a gente vai usar as relações:
  2. x = r c o s   θ

    y = r   s e n   θ

    r 2 = x 2 + y 2

    Então a gente tem:

    - 4,4

    É o nosso ponto. Sendo assim o r :

    r 2 = - 4 2 + 4 2

    r 2 = 16 + 16 = 32

    r = ± 32 = ± 4 2

    Aí o ângulo, a gente precisa encontrar tanto para r > 0 quanto para r < 0 .

    - 4 = 4 2 cos ⁡ θ

    cos ⁡ θ = - 4 4 2 = - 2 2

    4 = 4 2 s e n   θ

    s e n   θ = 2 2

    Esse círculo trigonométrico vai salvar sua vida agora:

    Ou seja, o ângulo então é:

    3 π 4

    Isso pro raio positivo!

    O ponto é 4 2 , 3 π 4

    Pro raio negativo, vamos ter:

    - 4 = - 4 2 cos ⁡ θ

    cos ⁡ θ = 2 2

    4 =   - 4 2 s e n   θ

    s e n   θ =   - 2 2

    Aí o ângulo fica sendo o

    7 π 4

    E o ponto: - 4 2 , 7 π 4 .

    Passo 3

  3. Vamos seguir o mesmo raciocínio!

O ponto agora é:

3 ,   3 3

r 2 = 3 2 + 3 3 2

r 2 = 9 + 2 7

r 2 = 3 6

r = ± 6

Beleza, pro raio positivo:

3 = 6 cos ⁡ θ  

cos ⁡ θ = 1 2

3 3 = 6   s e n   θ

s e n   θ = 3 3 6 = 3 2

Com o nosso círculo:

Aqui o ângulo então é π 3 certo?

O ponto então é:

6 , π 3

Agora a gente faz com r negativo:

3 = - 6 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = - 3 6 = - 1 2

3 3 = - 6   s e n   θ

s e n   θ =   - 3 2

Aqui então o ângulo tá no quarto quadrante, é o

5 π 3

Aí o ponto é:

- 6 , 5 π 3

Resposta

  1. 4 2 , 3 π 4 ; - 4 2 , 7 π 4
  2. 6 , π 3 ;   - 6 , 5 π 3
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