Resolva as equações diferenciais

dH/dR = (R \* H^2 \* raiz(1 + R^2)) / ln(H)

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

d H d R = R H 2   1 + R ² ln ⁡ H

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for H vai para um lado, tudo que for R vai para o outro.

d H d R = R H 2   1 + R ² ln ⁡ H

ln ⁡ H H 2   d H = R   1 + R 2   d R

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

∫ ln ⁡ H H 2   d H = ∫ R   1 + R 2   d R

Do lado direito podemos fazer o seguinte truque. Pensar numa substituição, onde o argumento da raiz seja a função que vamos substituir.

u = 1 + R 2

d u = 2 R   d R → R d R = d u 2

Então agora podemos substituir e integrar de um jeito muito mais tranquilo

∫ u 2 d u

Vamos dar uma relembrada rapidinha desse tipo de integral

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Show! Agora podemos seguir em frente

∫ u 2 d u

= 1 2 * 2 3 * u 3 / 2

= 1 3 u 3 / 2

Para terminar precisamos só voltar de u → R

1 3 u 3 / 2 → 1 3 1 + R 2 3 / 2

Para o lado esquerdo vamos precisar usar um outro truque. Vamos ter que recorrer a Integração por partes. Então se temos u t     e v ( t ) e derivarmos teremos:

d d t u v = u ' v + u v '

Em seguida, podemos integrar ambos os lados e teremos de volta uv

∫ d d t u v d t =   ∫ u ' v + u v ' d t

u v = ∫ u ' v d t + ∫ u v ' d t  

∫ u ' v d t = u v - ∫ u v ' d t  

Faremos então u ' = 1 / H 2   e v = ln ⁡ H

∫ ln ⁡ H H 2   d H = ln ⁡ H * - 1 H - ∫ - 1 H * 1 H d H

=   - ln ⁡ H H - ∫ - 1 H 2 d H

=   - ln ⁡ H H - 1 H

=   - ln ⁡ H + 1 H

UFAA!! Admito que essa deu mais trabalho, mas conseguimos. Vamos unir ambas as partes

1 3 1 + R 2 3 / 2 = - ln ⁡ H + 1 H  

Essa resposta não está errada, mas podemos deixar ela de forma mais explicita. Só lembre que precisamos adicionar a nossa constante arbitraria.

1 3 1 + R 2 3 / 2 = - ln ⁡ H + 1 H + C

1 + R 2 3 2 = - 3 ln ⁡ H + 1 H + 3 C

1 + R 2 = - 3 ln ⁡ H + 1 H + 3 C 2 / 3

R 2 =   - 3 ln ⁡ H + 1 H + 3 C 2 / 3 - 1

R =   ± - 3 ln ⁡ H + 1 H + 3 C 2 / 3 - 1 1 / 2

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C. Mas essa constante é completamente arbitraria. Então se multiplicarmos por qualquer valor, não fará a menor diferença. Então não é costume alterar essas constantes. Beleza!

R =   ± - 3 ln ⁡ H + 1 H + C 2 / 3 - 1 1 / 2

Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

R =   ± - 3 ln ⁡ H + 1 H + C 2 / 3 - 1 1 / 2

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