e) ∫ s e n 2 ( x ) cos 4 ⁡ x d x  

Passo 1

Esse tipo de questão é bem difícil, então vamos com calma.

Da trigonometria, temos:

s e n 2 x = 2 ⋅ s e n x ⋅ cos ⁡ x → s e n x ⋅ cos ⁡ x = s e n 2 x 2

Queremos integrar o seguinte:

E = s e n 2 x   ⋅ cos 4 ⁡ x = s e n 2 x ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ cos 2 ⁡ x

Logo,

E = s e n 2 x 2 2 cos 2 ⁡ x = s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x 2 2

Passo 2

Calma que essa é cascuda!!

Lembrete:

s e n a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ s e n a + b + s e n a - b

Usando essa lembrete, vai ficar assim:

s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x = 1 2 ⋅ s e n 3 x + s e n x

Logo,

E = 1 2 ⋅ s e n 3 x + s e n x 2 2 = 1 16 ⋅ s e n 2 3 x + 2 ⋅ s e n 3 x ⋅ s e n x + s e n 2 x

Da trigonometria:

cos ⁡ 2 x = 1 - 2 ⋅ s e n 2 x → s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Então,

s e n 2 3 x = 1 - cos ⁡ 6 x 2

E

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ x 2

Nossa expressão ta assim ó:

E = 1 16 ⋅ 1 - cos ⁡ 6 x 2 + 2 ⋅ s e n 3 x ⋅ s e n x + 1 - cos ⁡ x 2

Só mais uma coisinha!!

Lembrete:

s e n a ⋅ s e n b = 1 2 ⋅ c o s a - b - c o s a + b

2 ⋅ s e n 3 x ⋅ s e n x = 2 ⋅ 1 2 ⋅ cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 4 x

Nossa expressão fica assim:

E = 1 16 ⋅ 1 - cos ⁡ 6 x 2 + cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 4 x + 1 - cos ⁡ x 2

Ufa!!

Não esquece: ∫ c o s x   d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora bora finalizar!

E = 1 16 ⋅ 1 - cos ⁡ 6 x 2 + cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 4 x + 1 - cos ⁡ x 2

Fazendo as contas:

E = 1 16 ⋅ - cos ⁡ 6 x 2 + cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 4 x - cos ⁡ x 2 + 1

Integrando:

I = ∫ s e n 2 x cos 4 ⁡ x d x = ∫ 1 16 ⋅ - cos ⁡ 6 x 2 + cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 4 x - cos ⁡ x 2 + 1 d x

Logo,

I = 1 16 ⋅ - sen ⁡ 6 x 12 + s e n 2 x 2 - s e n 4 x 4 - sen ⁡ x 2 + x + c

Resposta

1 16 ⋅ - sen ⁡ 6 x 12 + s e n 2 x 2 - s e n 4 x 4 - sen ⁡ x 2 + x + c

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