Enunciado

Determine vec r (t) se vec r ' (t) = s e n t hat i - cos t hat j + 2 t hat k e vec r (0) = hat i + hat j + 2 hat k

Passo 1

Para determinar uma função tendo apenas a derivada, basta integrar a derivada.

Mas como temos uma derivada de uma função vetorial, a nossa integral também será de uma função vetorial, desta forma para integrar basta integrarmos cada uma das componentes desta função.

Passo 2

Portanto o calcula da integral será:

Integral da componente hat i :

int s e n t d t = - cos t + C_x

Integral da componente hat j :

int - cos t d t = - s e n t + C_y

Integral da componente hat k :

int 2 t d t = t^2 + C_z

Desta maneira temos:

vec r (t) = int (s e n t hat i - cos t hat j + 2 t hat k) d t = - cos t hat i - s e n t hat j + t^2 hat k + C

Onde C = C_x + C_y + C_z .

Mas sabemos que para o parâmetro t = 0 temos que vec r (t) = hat i + hat j + 2 hat k

Deste modo vec r (t) é:

vec r (t) = ( 1 - cos t ) hat i + (1 - s e n t) hat j + ( 2 + t^2 ) hat k

Resposta

vec r (t) = ( 1 - cos t ) hat i + (1 - s e n t) hat j + ( 2 + t^2 ) hat k

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