Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.5 - Ex. 26
Teste a serie quanto a convergência ou divergência:
Passo 1
Tomando a sequencia , que a sequencia do termo geral a menos da mudança de sinal e tomando a função auxiliar .
O motivo para isso e para podermos verificar se a função e para valores , pois, nesse caso, a sequencia também sera descrecente.Usando a regra do produto para derivada: e a regra da cadeia teremos:
Estudando o sinal dessa função, temos que e sempre positiva e sempre que Portanto, como consequência do Teorema do Valor Medio, temos que essa função e descrescente e concluímos que também o sera.
Escrevendo . Se teremos uma indeterminação do tipo , então, usando a Regra de L’Hopital, teremos que . Onde, na segunda a passagem, temos a fracao da derivada do numerador pela derivada do denominador. Isso implica que conforme n tende ao infinito.
Como e e decrescente, pelo teste da serie alternada, então a serie converge.
Passo 2
Escrevendo alguns termos da serie:
Usando a aproximação que concluimos que . Entao, podemos aproximar:
e
Logo, o sexto termo já e menor que o erro dado, assim a aproximação usando ate o quinto termo eh aceitável.
Resposta
Calculando ate o quinto termo.