Enunciado

Teste a serie quanto a convergência ou divergência: ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 . n . e - n

Passo 1

Tomando a sequencia b n = n . e - n , que a sequencia do termo geral a menos da mudança de sinal e tomando a função auxiliar f x = x . e - x .

O motivo para isso e para podermos verificar se a função e para valores x ≥ 1 , pois, nesse caso, a sequencia também sera descrecente.Usando a regra do produto para derivada: h . g ' ( x ) = ( h ' . g ) x + ( h . g ' ) ( x ) e a regra da cadeia teremos:

f ' x = e - x - x e - x = e - x ( 1 - x )

Estudando o sinal dessa função, temos que e - x e sempre positiva e 1 - x ≤ 0 sempre que x ≥ 1 . Portanto, como consequência do Teorema do Valor Medio, temos que essa função e descrescente e concluímos que b n também o sera.

Escrevendo f x = x . e - x = x e x . Se x → ∞ teremos uma indeterminação do tipo + ∞ + ∞ , então, usando a Regra de L’Hopital, teremos que lim x → + ∞ ⁡ x e x = lim x → + ∞ ⁡ 1 e x = 0 . Onde, na segunda a passagem, temos a fracao da derivada do numerador pela derivada do denominador. Isso implica que b n →   0 conforme n tende ao infinito.

Como b n → 0   e b n e decrescente, pelo teste da serie alternada, então a serie converge.

Passo 2

Escrevendo alguns termos da serie:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 . n . e - n = e - 1 - 2 e - 2 + 3 e - 3 - 4 e - 4 + 5 e - 5 - 6 e - 6 + …  

Usando a aproximação que e < 3 concluimos que 1 e < 1 3 . Entao, podemos aproximar:

5 e - 5   ≅ 0,02 e 6 e - 6 ≅ 0,0082 < 0,01

Logo, o sexto termo já e menor que o erro dado, assim a aproximação usando ate o quinto termo eh aceitável.

Resposta

Calculando ate o quinto termo.

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