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Derive a função:

g x = x e x  

Passo 1

Bom galera, precisamos derivar a função. Mas neste caso a função é composta por uma multiplicação, então o que fazemos?

Usamos a Regra do Produto!

Então:

f ' ( x ) = x 1 2 . d d x e x + e x . d d x ( x 1 2 )

Vamos relembrar da Regra da Potência:

f ' x = x 1 2 . d d x e x + e x × 1 2 x - 1 2

Para finalizar usamos a Derivada para a função exponencial:

f ' x = x 1 2 × e x + e x × 1 2 x 1 2

Sendo assim:

f ' x = e x x 1 2 + 1 2 x 1 2

Agora vamos colocar tudo em uma única fração:

Tirando o Mínimo Múltiplo Comum:

Para isso nós multiplicamos o x 1 2 que não é fração ainda, pelo denominador 2 x 1 2 que está embaixo do 1, isso em cima e em baixo, assim:

Vamos agora multiplicar x 1 2 por 2 x 1 2 na parte de cima, e como são potencias de bases iguais, nós repetimos a base que é x e somamos os expoentes, ficando com:

2 x 1 2 + 1 2 = 2 x

Assim:

E como as duas frações possuem agora o mesmo denominador, podemos colocar tudo junto, assim:

f ' x = e x 2 x + 1 2 x 1 2

Isolando:

f ' x = e x 2 x 1 2 ( 2 x + 1 )

Resposta

f ' x = e x 2 x 1 2 ( 2 x + 1 )

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