Enunciado

Derive a função:

g (x) = sqrt(x) e^x

Passo 1

E aí! pessoal! 😬

Bom, galera... precisamos derivar a função

g (x) = sqrt(x) e^x

Mas neste caso a função é composta por uma multiplicação, então o que fazemos?

Usamos a Regra do Produto!

Então:

f^' ( x ) = x^((1)/(2)) . (d)/(d x) (e^x) + e^x . (d)/(d x) ( x^((1)/(2)) )

Veja só! 😉

Passo 2

Vamos relembrar da Regra da Potência:

f^' (x) = x^((1)/(2)) . (d)/(d x) (e^x) + e^x xx (1)/(2) x^(- (1)/(2))

Para finalizar usamos a Derivada para a função exponencial:

f^' (x) = x^((1)/(2)) xx e^x + e^x xx (1)/(2 x^((1)/(2)))

Sendo assim:

f ' (x) = e^x (x^((1)/(2)) + (1)/(2 x^((1)/(2))))

Agora vamos colocar tudo em uma única fração:

Tirando o Mínimo Múltiplo Comum:

Para isso nós multiplicamos o x^((1)/(2)) que não é fração ainda, pelo denominador 2 x^((1)/(2)) que está embaixo do 1, isso em cima e em baixo, assim:

Vamos agora multiplicar x^((1)/(2)) por 2 x^((1)/(2)) na parte de cima, e como são potencias de bases iguais, nós repetimos a base que é x e somamos os expoentes, ficando com:

2 x^((1)/(2) + (1)/(2)) = 2 x

Assim:

E como as duas frações possuem agora o mesmo denominador, podemos colocar tudo junto, assim:

f ' (x) = e^x ((2 x + 1)/(2 x^((1)/(2))))

Isolando:

f ' (x) = (e^x)/(2 x^((1)/(2))) ( 2 x + 1 )

E então! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

f ' (x) = (e^x)/(2 x^((1)/(2))) ( 2 x + 1 )

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