Enunciado

Se f x = s e n 2 x + cos 2 ⁡ x , use o Teorema 4.3.3 pra mostrar que f x = 1 para todo x em [ - 2 π ,   2 π ] .

Passo 1

Observe que:

f - 2 π = s e n 2 - 2 π + cos 2 ⁡ - 2 π ⇒

f - 2 π = 0 2 + 1 2 ⇒

f - 2 π = 1

E também:

f 2 π = s e n 2 2 π + cos 2 ⁡ 2 π ⇒

f 2 π = 0 2 + 1 2 ⇒

f 2 π = 1

Passo 2

Pelas regras de derivação temos:

f ' x = 2 s e n x . cos ⁡ x + 2 cos ⁡ x . - s e n x ⇒

f ' x = 2 s e n x . c o s ⁡ ( x ) - 2 s e n x . cos ⁡ x ⇒

f ' x = 0

Assim, pelo teorema mencionado, f será constante em um certo intervalo I .

Como f - 2 π = 1   e f 2 π = 1 , temos que f x = 1 para todo x ∈ I = [ - 2 π ,   2 π ] , como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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