Enunciado

  1. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se f for diferenciável em um intervalo aberto, e se f ' x ≤ M em cada x do intervalo, então
  2. f x - f y ≤ M | x - y |

    Com quaisquer x e y do intervalo.

  3. Use o resultado de (a) para mostrar que

s e n   x - s e n   y ≤ x - y

Para todos os valores reais de x e y .

Passo 1

(a) Precisamos usar o Teorema do Valor Médio:

f ' c = f b - f a b - a

Para provar a inequação do enunciado. Vem comigo!

Passo 2

Considerando que x e y pertencem ao mesmo domínio I , podemos escrever que para um valor c ,   que também pertence a I , o teorema do valor médio pode ter essa carinha:

f ' c = f x - f y x - y

Jogando x - y para o lado esquerdo:

f ' c x - y = f x - f ( y )

Jogando o módulo dos dois lados:

f x - f y = f ' c x - y

Como f ' x ≤ M , podemos escrever:

f x - f y = f ' c x - y ≤ M x - y

Que era o que precisávamos provar.

Passo 3

(b) A gente já provou que f x - f y ≤ M x - y

E pelo enunciado, temos que f x = s e n   x . Mas quem é M ?

M é o valor máximo que a derivada de f pode atingir. Vamos achar esse valor. Calculando a derivada:

f ' x = cos ⁡ x

Essa função está sempre entre - 1 e 1 , por isso o valor máximo que temos na derivada é 1 . Logo, M = 1 , e:

s e n x - s e n y ≤ | x - y |

Resposta

Prova nos passos

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