Enunciado

Crescimento alométrico em biologia refere-se às relações entre os tamanhos das partes de um organismo (comprimento do crânio e comprimento do corpo por exemplo). Se L1 e L2 são os tamanhos de dois órgãos em um organismo de idade t, então L1 e L2 satisfazem uma lei alométrica se suas taxas de crescimento específicas são proporcionais:

1 L 1 d d t   L 1 = k 1 L 2 d d t L 2

Onde k é uma constante.

(a) Use a lei alométrica para escrever uma equação diferencial fazendo a relação de L1 e L2 e solucione-a para expressar L1 como uma função de L2.

(b) Em um estudo de diversas espécies de algas unicelulares, a constante de proporcionalidade na lei alométrica relacionando B (biomassa celular) e V (volume celular) foi considerada k=0,0794. Escreva B como uma função de V.

Passo 1

Temos de acordo com o enunciado:

1 L 1 d d t L 1 = k 1 L 2 d d t L 2  

Reorganizando os termos podemos escrever:

d d t ( ln ⁡ L 1 ) = d d t ( l n L 2 k )  

Passo 2

Integrando ambos os lados da expressão encontrada no passo 1, temos:

l n L 1 = l n L 2 k + C  

Aplicando o exponencial em ambos os lados podemos escrever:

L 1 = exp ⁡ l n L 2 k + C = α L 2 k

Onde a constante α ≡ e C .

Passo 3

Do passo 3, fazendo L 1 = B e L 2 = V , temos:

B = α V k

Conforme dito no enunciado, k = 0,0794 , logo:

B = α V 0,0794

Resposta

L 1 em função de L 2 pode ser escrita como L 1 = α L 2 k , onde α ≡ e C .

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