Enunciado

Uma equação integral é uma equação que contém uma função desconhecida y(x) e uma integral que envolve y(x). Resolva a determinada equação integral. [Dica: Use uma condição inicial obtida da equação integral.]

y x = 2 + ∫ 1 x d t t y ( t ) ,   x > 0  

Passo 1

Para começarmos a resolver a equação integral podemos calcular a derivada de y ( x ) .

y ' x = 1 x   y ( x )

No enunciado temos que o termo da integral está escrito em função de t e aqui escrevemos em função de x. Isso ocorre pois na integral precisamos diferenciar quem estamos integrando e quem é nosso limite de integração. Mas é valido lembrar que y é uma função de x e não de t.

Desta forma temos que:

d y d x = 1 x   y

Passo 2

Para encontrarmos a solução da equação diferencial podemos deixar todos os termos que depende de y de um lado da equação e todos os termos que dependem de x do outro lado da equação.

y   d y = d x x

Estando seperadas as variáveis, podemos integrar ambos os lados. Sendo uma integral indefinida.

∫ y   d y = ∫ d x x

y 2 2 = ln ⁡ | x | + C

Passo 3

Para calcular quanto vale C precisamos de alguma condição inicial, para isso podemos olhar para os limites de integração da expressão y x = 2 + ∫ 1 x d t t y ( t ) . Esses limites de integração falam que x começa em 1 e vai até uma valor x qualquer , como queremos apenas a condição inicial então vamos utilizar x = 1 .

Claculando y ( 1 ) otemos: y 1 = 2 + 0 = 2

Sabendo quanto vale x e y, podemos agora calcular o valor de C a partir da equação:

y 2 2 = ln ⁡ | x | + C

2 2 2 = ln ⁡ | 1 | + C

C = 2

Passo 4

Substituindo o valor de C no resultado que obtemos após a integração, encontramos a solução da equação integral.

y 2 2 = ln ⁡ | x | + 2

y = 2 ln ⁡ | x | + 4

Mas como x > 0 :

y = 2 ln ⁡ x + 4

Resposta

y = 2 ln ⁡ x + 4

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