Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 8.2 - Ex. 32

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Use o resultado do exercício 31 para escrever uma integral para encontrar a área da superfície gerada pela rotação da curva y = x ,   0 ≤ x ≤ 4 , em torno da reta y = 4 . Então, use um SCA para calcular a integral.

Passo 1

No exercício 31, mostramos que

S = ∫ a b 2 π c - f x 1 + f ' x 2 d x

Então, precisamos calcular f ' x , substituir na fórmula e usar o SCA para calcular, ta ok?! Bora lá então

f ' x = y ' = d d x x 1 2 = 1 2 x

Elevando ao quadrado

f ' x 2 = 1 4 x

Passo 2

Agora, basta substituirmos

S = ∫ 0 4 2 π 4 - x 1 + 1 4 x d x

Usando um SCA, obtemos

S = 2 π ln ⁡ 17 + 4 + π 6 31 17 + 1 ≈ 80,6095

Resposta

S ≈ 80,6095

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