Enunciado

Seja L o comprimento da curva y = f x ,     a ≤ x ≤ b , onde f é positiva e tem uma derivada contínua. Seja S f a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo x . Se c é uma constante positiva, defina g x = f x + c e seja S g a área da superfície correspondente gerada pela curva y = g x ,     a ≤ x ≤ b . Expresse S g em termos de S f e L .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos disse que S g é a área da superfície gerada pela curva y = g ( x ) , no intervalo [ a ,   b ] , e pediu pra gente expressar S g em termos de S f e L .

Pra isso, eles nos disse também que L é o comprimento da curva y = f ( x ) , no intervalo [ a ,   b ] , e que sendo c uma constante positiva, podemos ter g x = f x + c .

Considerando que g é positiva e tem derivada contínua, podemos escrever a área da superfície gerada por ela na forma:

S g = ∫ a b 2 π g x 1 + g ' x 2 d x

A partir daí, vamos usar as relações que o enunciado nos deu para escrever S g em função da superfície gerada por f , que é S f e em função de L , que é o comprimento da curva.

Vamos lá!

Passo 2

Usando a fórmula do passo 1 e lembrando que o enunciado nos disse que g x = f x + c , vamos ter g ' x = f ' x . Então, nossa equação fica assim:

S g = ∫ a b 2 π f x + c 1 + f ' x 2 d x

Repare que substituímos g ( x ) por f x + c e g ' ( x ) por f ' ( x ) , beleza? Agora aplicando a propriedade distributiva nesse produto, podemos separar o nosso integrando em duas integrais na forma:

S g = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x + ∫ a b 2 π c 1 + f ' x 2 d x

Agora observe que a integral da esquerda representa a superfície gerada pela rotação da função f ( x ) em torno do eixo x no intervalo [ a ,   b ] . Chamando essa integral de superfície de S f , vamos ter:

S g = S f + 2 π c ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Mas, lembra da fórmula do comprimento de arco? Ela é dada por:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

E é isso que nós temos ali na equação. Então, podemos substituir toda aquela integral por L e escrever:

S g = S f + 2 π c L

E escrevemos S g em função de S f e L .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S g = S f + 2 π c L

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Mostre que se rotacionarmos a curva y = e x / 2 + e - x / 2 ao redor do eixo x , a área da superfície resultante tem o mesmo valor que o volume enclausurado para qualquer intervalo a ≤ x ≤ b .
Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = x
A fórmula 4 é válida somente quando f x ≥ 0 . Mostre que quando f ( x ) não é necessariamente positiva, a fórmula para a área da superfície se torna: ∫ a b 2 π f ( x ) 1 + f ' x 2 d x
(b) Use o recurso de integração numérica de uma calculadora para avaliar as áreas da superfície correta com quatro casas decimais. 5 . x = y + y 3 ,0 ≤ y ≤ 1
(b) Use o recurso de integração numérica de uma calculadora para avaliar as áreas da superfície correta com quatro casas decimais. 6 .y = tan - 1 ⁡ x ,0 ≤ x ≤ 2