1.

A reta que passa pela origem O = 0,0 e faz ângulo θ com o eixo x , intercepta a circunferência x 2 + y 2 = a 2   no ponto Q . Seja P o ponto médio do segmento Q R - na figura abaixo. Determine as coordenadas de P em função do ângulo θ . Perceba que, quando θ varia entre π 2 e 0 , o ponto P   percorre a curva A B da figura.

Resolução
2.

Uma haste, presa na origem do plano x y , ocupa a posição da reta x = t y . A haste intercepta a reta y = 4 no ponto S e a elipse 4 x 2 + y - 2 2 = 4 no ponto Q (figura). Quando t varia, o vértice P do triângulo Q P S descreve uma curva.

Escreva as equações paramétricas dessa curva em função do parâmetro t .

Resolução
3.

A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando o mesmo, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo (figura). Supondo que o centro do carretel está colocado na origem do plano x y e seu raio é a , e que o fio começa a se desenrolar no ponto A = ( a , 0 ) . Mostre que as equações paramétricas da Involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:

x θ = a ( cos ⁡ θ + θ s e n θ ) e y θ = a ( s e n θ - θ cos ⁡ θ ) , θ ∈ [ 0,2 π ]

Utilizando como parâmetro o ângulo A O T mostrado na figura.

Resolução
4.

A reta que passa pela origem O = 0,0 e faz ângulo θ com o eixo x , intercepta a circunferência x 2 + y 2 = a 2   no ponto Q . Seja P o ponto médio do segmento Q R - na figura abaixo. Determine as coordenadas de P em função do ângulo θ . Perceba que, quando θ varia entre π 2 e 0 , o ponto P   percorre a curva A B da figura.

Resolução
5.

Um barbante é enrolado ao redor de um círculo, e então desenrolado sendo mantido esticado. A curva formada pelo ponto P , no final do barbante, é chamada de involuta do círculo. Suponha que o círculo tem raio r e centro O , e que a posição final de P seja r , 0 . Se o parâmetro for escolhido como na figura, encontre as equações paramétrias da involuta.

Resolução
6.

Considere a curva C , descrita pelo ponto P , para θ ∈ 0 , π 2 , como na figura:

Onde o raio da circunferência é 1.

Uma parametrização de C é:

  1. P θ = 1 sen ⁡ θ , sen ⁡ θ
  2. P θ = 1 cos ⁡ θ , cos ⁡ θ
  3. P θ = tg ⁡ θ , cos ⁡ θ
  4. P θ = 1 tg ⁡ θ , sen ⁡ θ
  5. Nenhuma das demais alternativas.
Resolução

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