Enunciado

Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 3 - y 3 x 2 + x y + y 2

Passo 1

f x , y = x 3 - y 3 x 2 + x y + y 2

De cara já da pra ver que f ( x , y ) não é continua no ponto ( 0,0 ) , já que o denominador seria igual a zero.

Passo 2

Vamos tentar verificar se, em dois caminhos diferentes, o limite vai dar igual.

Como não temos seno e cosseno. E repara que embaixo temos uma soma... a gente já pode tentar um caminho com uma das variáveis igual a zero, tipo x , y = t , 0

lim t → 0 ⁡ t 3 - 0 3 t 2 + t 0 + 0 2 = lim t → 0 ⁡ t 3 t 2 = lim t → 0 ⁡ t = 0

Outra tática seria deixar é tentar deixar com os expoentes das duas variáveis iguais no denominados. Que tal x , y = t , t

lim t → 0 ⁡ t 3 - t 3 t 2 + t t + t 2 = 0

Hmmm... deu igual, então o limite existe... E tem mais, ele vai ser igual a zero.

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 3 - y 3 x 2 + x y + y 2 = 0

Passo 3

Maaaaasss se a gente lembrar de fatoração dá uma simplificada, heim... Se liga só:

x 3 - y 3 = x - y x 2 + x y + y 2

Ohhh... vamos substituir lá no limte:

lim x , y → 0,0 ⁡ x - y x 2 + x y + y 2 x 2 + x y + y 2 = l i m x , y → 0,0 x - y

E acabou a indeterminação, né... Então:

l i m x , y → 0,0 x - y = 0

Daí:

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 3 - y 3 x 2 + x y + y 2

E acabamos essa questão. Bora pra próxima?

Resposta

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