Enunciado

Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:

r → t = e t c o s t ,   e t s e n t ,   e t

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

s t = ∫ a t r ' → t * d t *

O que a gente vai fazer então é derivar a função r → ( t ) que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos. Até aí calculamos s ( t ) . Depois disso, encontramos a inversa dessa função, t ( s ) , e aí a nossa função reparametrizada vai ser h → s = r → ( t s ) , aí fechou.

Passo 2

Pra derivar a função r → ( t ) , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein!

r → t = e t c o s t ,   e t s e n t ,   e t

Derivando,

r ' → t = e t - s e n t + e t c o s t ,   e t c o s t + e t s e n t ,   e t

r ' → t = e t c o s t - e t s e n t ,   e t c o s t + e t s e n t ,   e t

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!

r ' → t 2 = e t c o s t - e t s e n t 2 + ( e t c o s t + e t s e n t ) 2 + e t 2

Botando e t 2 em evidência:

r ' → t 2 = e t 2 c o s t - s e n t 2 + c o s t + s e n t 2 + 1

Desenvolvendo os quadrados:

r ' → t 2 = e 2 t ( cos 2 ⁡ t - 2 c o s t s e n t + s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + 2 c o s t s e n t + s e n 2 t + 1 )

Cortando o que tem que cortar e juntando as relações fundamentais da trigonometria:

r ' → t 2 = e 2 t 1 + 1 + 1

r ' → t 2 = 3 e 2 t

E portanto, o módulo vai ser:

r ' → t = 3 e t

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser 0 e t .

s t = ∫ 0 t 3 e t * d t *

Integrando:

s t = 3 e t * 0 t

Substituindo os limites de integração:

s t = 3 e t - 3

Passo 5

Agora temos que achar a função inversa, t ( s ) . É assim: nós temos s em função de t , certo?

s = 3 e t - 3

Pra encontrar a inversa, a gente só precisa isolar o t em função de s . Pra isso, vamos usar o logaritmo na base e .

s + 3 3 = e t

ln ⁡ s + 3 3 = ln ⁡ e t

Chegamos em:

t = ln ⁡ s + 3 3

Passo 6

Prontinho, agora é só substituir a função t ( s ) na expressão de r → ( t ) .

r → t = e t c o s t ,   e t s e n t ,   e t

h → s = r → t ( s ) = e ln ⁡ s + 3 3 cos ⁡ ln ⁡ s + 3 3 ,   e ln ⁡ s + 3 3 s e n ln ⁡ s + 3 3 ,   e ln ⁡ s + 3 3

Como e ln ⁡ a = a ,

h → s = s + 3 3 cos ⁡ ln ⁡ s + 3 3 ,   s + 3 3 s e n ln ⁡ s + 3 3 , s + 3 3

Resposta

s + 3 3 cos ⁡ ln ⁡ s + 3 3 ,   s + 3 3 s e n ln ⁡ s + 3 3 , s + 3 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o comprimento da curva: x = t 1 + t , y = ln ⁡ 1 + t,0 ≤ t ≤ 2
Calcule o comprimento exato da curva polar r = 3 sen ⁡ θ 0 ≤ θ ≤ π 3
Calcule o comprimento exato da curva polar r = e 2 θ 0 ≤ θ ≤ 2 π
Calcule o comprimento exato da curva polar r = θ 0 ≤ θ ≤ 2 π
Trace a curva com uma ferramenta gráfica e calcule seu comprimento r = cos 2 ⁡ θ 2