Enunciado

O custo, em dólares, da produção de x jardas de um certo tecido é C x = 1200 + 12 x - 0,1 x 2 + 0,0005 x 3 e a companhia descobre que se vender as x jardas ela poderá cobrar p x = 29 - 0,00021 x dólares por jarda do tecido.

  1. Use o cálculo para encontrar o nível de produção para o lucro máximo.

Passo 1

Agora, como visto no item (a), vamos igualar as derivadas do rendimento R ( x ) e do custo C ( x ) , para encontrar o valor de x para o qual o lucro é máximo. Devemos ter:

R ' x = C ' ( x )

Passo 2

Primeiro vamos derivar o rendimento. Já calculamos no item (a) R ( x ) :

R x = 29 x - 0,00021 x 2

Derivando:

R ' x = 29 - 0,00042 x

Agora derivamos C ( x ) :

C ' x = 12 - 0,2 x + 0,0015 x 2

Passo 3

Igualamos as duas derivadas:

R ' x = C ' ( x )

⇒ 29 - 0,00042 x = 12 - 0,2 x + 0,0015 x 2

⇒ 0 = 0,0015 x 2 - 0,2 x + 0,00042 x + 12 - 29

⇒ 0,0015 x 2 - 0,19958 x - 17 = 0

Agora precisamos resolver essa equação de segundo grau:

Δ = b 2 - 4 a c = - 1,9958 2 - 4 0,0015 - 17 = 2,0978

x = - b ± Δ 2 a = 1,9958 ± 2,0978 0,0003 = 1,9958 ± 1,4484 0,0003

⇒ x ≈ 182   o u   x ≈ 1148

Como vimos no item ( a ) , teríamos o lucro máximo próximo de x = 190 , então o nosso valor é:

x ≈ 182

Resposta

x ≈ 182   j a r d a s

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