Enunciado

O custo da produção de x quilogramas de ouro provenientes de uma nova mina é C = f ( x ) dólares.

  1. Qual o significado da derivada f ’ ( x ) ? Quais são suas unidades?
  2. O que significa f   ‘ ( 50 ) = 36 ?
  3. Você acha que os valores de f   ‘ ( x ) vão crescer ou decrescer a curto prazo? E a longo prazo? Explique.

Passo 1

E aí pessoal, tranquilidade?

Essa questão aqui é beeem conceitual, a gente não vai precisar fazer nenhuma conta! Entender os conceitos é tão importante quanto fazer as contas!

Nesse problema temos que o custo da produção de x quilogramas de ouro provenientes de uma nova mina é C = f ( x ) dólares.

A partir daí queremos determinar qual o significado da derivada f ’ ( x ) e quais são suas unidades. O que significa f   ‘ ( 50 ) = 36 e explicar se achamos que os valores de f   ‘ ( x ) vão crescer ou decrescer a curto prazo ou a longo prazo.

Dito isso, bora começar!

Passo 2

A derivada f ' ( x ) indica o quanto o custo de produção   C = f ( x ) varia com relação ao quilograma de ouro x .

Lembre-se: a derivada é uma relação sempre entre f ( x ) e sua variável x ! A sua unidade, portanto, será d ó l a r e s / k g .

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Analisando a expressão f ' ( 50 ) = 36 , sabemos que x = 50 diz respeito à quantidade de ouro e 36 é uma taxa de variação.

Logo, podemos concluir que 36 é a taxa de variação do custo de produção do ouro, em d ó l a r e s / k g , após a produção de 50   k g de ouro.

Bacana, não é? 👀

Passo 4

Bora raciocinar: inicialmente, ao descobrir a mina, ela vai ter muuuuito ouro, certo? Então cada operário consegue extrair uma quantidade absurda de ouro em pouco tempo, tendo um custo de produção por quilograma baixo.

Conforme o tempo vai passando e o ouro vai ficando mais escasso, você vai pagar o mesmo salário para um minerador, mesma quantidade de energia, equipamento e tudo mais por uma quantidade menor de ouro extraída do que antes.

Logo, o custo de produção com o tempo aumenta, entendeu?

Resumo da ópera: a curto prazo, os valores de f ' ( x ) vão crescer e, a longo prazo, eles vão decrescendo!

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

  1. A derivada f ' ( x ) indica o quanto o custo de produção   C = f ( x ) varia com relação ao quilograma de ouro x , em d ó l a r e s / k g .
  2. f ' 50 = 36 é a taxa de variação do custo de produção do ouro, em d ó l a r e s / k g , após a produção de 50   k g de ouro.
  3. a curto prazo, os valores f ' ( x ) vão crescer (a mina começa a ser explorada a todo o vapor, conseguindo produzir muito ouro) e, a longo prazo, eles vão decrescendo (o ouro vai ficando mais difícil de ser encontrado e extraído na mina).
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Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' 0 = 0 e f ' 1 = 0 .
Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' x0 para x0 , f ' x0 para 0x2 e f ' x0 para x2 .
Seja g x = x + 1 ,s e x1 - x + 3 ,s e x ≥ 1 a ) Esboce o gráfico de g . b ) g é derivável em p = 1 ? Por quê? .
Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e contínua em R , tal que f ' ( 1 ) não exista.
Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' x0 para todo x .