Enunciado

O custo da produção de x quilogramas de ouro provenientes de uma nova mina é C = f ( x ) dólares.

  1. Qual o significado da derivada f ’ ( x ) ? Quais são suas unidades?
  2. O que significa f   ‘ ( 50 ) = 36 ?
  3. Você acha que os valores de f   ‘ ( x ) vão crescer ou decrescer a curto prazo? E a longo prazo? Explique.

Passo 1

E aí pessoal, tranquilidade? Essa questão aqui é beeem conceitual, a gente não vai precisar fazer nenhuma conta! Mas não menospreza ela não, viu – entender os conceitos é tão importante quanto fazer as contas! Dito isso, bora meter ficha!

Precisamos interpretar a derivada da função o seu valor em um ponto específico. E depois tentar dizer se ela é crescente ou decrescente.

Bem, vamos lembrar o que é derivada!

A derivada de uma grandeza é a taxa de variação instantânea de uma grandeza. Ou seja f ' ( x ) é a variação de f ( x ) sobre a variação de x . E eu disse que é instantânea, porque ela assume valores dizerentes em cada ponto.

Passo 2

  1. Se a derivada é a taxa de variação de uma grandeza e se f x é o custo de produção de x k g , então f ' ( x ) indica o quanto o custo de produção   C = f ( x ) varia com relação ao quilograma de ouro x .
  2. Lembre-se: a derivada é uma relação sempre entre f ( x ) e sua variável x ! A sua unidade, portanto, será a razão das duas unidades

    d ó l a r e s k g

    Passo 3

  3. Analisando a expressão f ' ( 50 ) = 36 , sabemos que x = 50 diz respeito à quantidade de ouro e 36 é uma taxa de variação.
  4. Logo, podemos concluir que 36 é a taxa de variação do custo de produção do ouro, em d ó l a r e s / k g , após a produção de 50   k g de ouro. De forma mais prática, é o preço pra produzir a unidade 51.

    Passo 4

  5. Bora raciocinar: inicialmente, ao descobrir a mina, ela vai ter muuuuito ouro, certo? Então cada operário consegue extrair uma quantidade absurda de ouro em pouco tempo, tendo um custo de produção por quilograma baixo.

Conforme o tempo vai passando e o ouro vai ficando mais escasso, você vai pagar o mesmo salário para um minerador, mesma quantidade de energia, equipamento e tudo mais por uma quantidade menor de ouro extraída do que antes. Logo, o custo de produção com o tempo aumenta, entendeu?

Resumo da ópera: a curto prazo, os valores de f ' ( x ) vão crescer e, a longo prazo, eles vão decrescendo!

Resposta

  1. A derivada f ' ( x ) indica o quanto o custo de produção   C = f ( x ) varia com relação ao quilograma de ouro x , em d ó l a r e s / k g .
  2. f ' 50 = 36 é a taxa de variação do custo de produção do ouro, em d ó l a r e s / k g , após a produção de 50   k g de ouro.
  3. a curto prazo, os valores f ' ( x ) vão crescer (a mina começa a ser explorada a todo o vapor, conseguindo produzir muito ouro) e, a longo prazo, eles v��o decrescendo (o ouro vai ficando mais difícil de ser encontrado e extraído na mina).
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