Enunciado

Dada

f x = c o s x - 1 x   s e   x ≠ 0 0   s e   x = 0

Prove que f é continua em 0 e que f é diferenciavel em 0, calculando f’(0).

Passo 1

Para o primeiro caso, devemos lembrar que f é continua em a, se e somente se:

i ) f a   e x i s t i r

i i ) lim x → a ⁡ f x e x i s t i r

i i i ) lim x → a ⁡ f x = f ( a )

Sabendo disso, vamos achar o lim x → 0 ⁡ c o s x - 1 x

Passo 2

Para acharmos esse limite, temos que aplicar a regra de l’hopital, e dai resolver direto:

lim x → 0 ⁡ c o s x - 1 x

Aplicando L’Hôpital:

lim x → 0 ⁡ - s e n x 1

lim x → 0 ⁡ - s e n x 1 = 0

Logo, tentendo para os dois valores também existe, já que a função existe em 0.

Passo 3

Para calcular o f’(0), temos que q função f(0) = 0. A derivada de 0 é igual a 0, logo:

f ' 0 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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