Enunciado

É dada uma função diferenciável z = f ( x , y ) cujo gráfico está contido na superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Sabe-se que f 1 2 , 1 2 = 2 2 . Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1 2 , 1 2 , 2 2 .

Passo 1

A questão pede a equação do planto tangente ao gráfico de f no ponto 1 2 , 1 2 ,   f 1 2 , 1 2 . Para acharmos essa equação precisamos encontrar o vetor normal ao plano.

Vamos tomar a função

F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1

O gradiente de F será ortogonal às superfícies de nível. Desta forma, o gradiente desta função no ponto 1 2 , 1 2 ,   f 1 2 , 1 2 será o vetor normal do plano procurado.

Calculando esse gradiente, temos que

∇ F x , y , z = 2 x ,   2 y ,   2 z

Passo 2

Desta forma,

∇ F 1 2 , 1 2 , 2 2 = ( 1 ,   1 ,   2 )

Assim, vamos tomar n → = 1 ,   1 ,   2 .

Passo 3

A equação de um plano é dada por

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ n → = 0

Assim,

x - 1 2 , y - 1 2 , z - 2 2 ⋅ 1 ,   1 ,   2 = 0

Logo,

x - 1 2 + y - 1 2 + z 2 - 1 = 0

Portanto,

x + y + z 2 = 2

Resposta

x + y + z 2 = 2

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A imagem da curva γ ( t ) está contida na intersecção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 3 e x 2 + 3 y 2 - z 2 = 3 . Suponha que γ t 0 = ( 1 ,1 ,1 ) e γ ' t 0 ≠ 0 → . Determine a reta tangente a γ em γ
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