Enunciado

Calcular a diferencial das seguintes funções:

(a) y = ln ⁡ ( 3 x 2 - 4 x ) ;(b) y = x + 1 e x ;(c) y = sin ⁡ ( 5 x 2 + 6 )

Passo 1

Aqui, simplesmente precisamos derivar essas funções. Usaremos todas as regras de derivação que conhecemos até então, inclusive a regra da cadeia. Faça tudo com calma e cuidado, e verifique, nos passos a seguir, se tudo confere!

Passo 2

(a) y = ln ⁡ ( 3 x 2 - 4 x ) :

Pela regra da cadeia, derivamos primeiro o logaritmo neperiano (1 sobre o conteúdo do logaritmo), e depois derivamos o conteúdo (regra dos expoentes).

y ' = 1 3 x 2 - 4 x ∙ ( 6 x - 4 )

∴ y ' = 6 x - 4 3 x 2 - 4 x

Passo 3

(b) y = x + 1 e x :

Derivamos pela regra do quociente. Considerando o numerador como f e o denominador como g , a derivada vai valer f ' ∙ g - f ∙ g ' g 2 . Teremos:

y ' = 1 ∙ e x - ( x + 1 ) ∙ e x e 2 x

y ' = e x ∙ ( 1 - x + 1 ) e x ∙ e x

∴ y ' = - x e x

Passo 4

(c) y = sin ⁡ ( 5 x 2 + 6 ) :

A derivada de seno é cosseno. Pela regra da cadeia, teremos cosseno (do conteúdo dos parênteses), vezes a derivada do conteúdo. Resultamos em:

∴ y ' = cos ⁡ ( 5 x 2 + 6 ) ∙ 10 x

Resposta

(a) ∴ y ' = 6 x - 4 3 x 2 - 4 x

(b) ∴ y ' = - x e x

(c) ∴ y ' = cos ⁡ ( 5 x 2 + 6 ) ∙ 10 x

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