Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Dada a função z = a x 2 + b y 2 + c , analisar os pontos críticos, considerando que:

a) a > 0 e b > 0 .

Passo 1

Então galera, essa questão não é tão difícil de enxergar porque é uma função quadrática, e conhecemos muito bem esse tipo de função, não é mesmo? Mas ainda sim vamos utilizar os conceitos que conhecemos! Derivando parcialmente e igualando a zero, teremos:

∂ z ∂ x = 2 a x

∂ z ∂ y = 2 b y

Sendo assim:

2 a x = 0 2 b y = 0

Como a > 0 e b > 0 , então temos que o ponto crítico é em 0 ,   0 .

Passo 2

Para classificarmos se o ponto crítico que encontramos é ponto de máximo, mínimo ou se é ponto de sela, devemos encontrar o determinante Hessiano, dado da seguinte forma:

H x ,   y = ∂ 2 f ∂ x 2 x ,   y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y ∂ 2 f ∂ y 2 ( x ,   y )  

Então temos que encontrar essas derivadas parciais aí! Sendo assim:

∂ 2 f ∂ x 2 = 2 a

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 b

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 0

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 0

Substituindo, teremos:

H 0 ,   0 = 2 a 0 0 2 b = 4 a b > 0

Sendo assim, pelas proposições estudadas, se o determinante resulta em um valor maior do que zero, assim como a derivada parcial de segunda ordem, então significa que o ponto crítico é ponto de mínimo. Em outras palavras, temos um paraboloide virado para cima com mínimo em 0 ,   0 .

Resposta

Parabolóide virado para cima, ponto de mínimo: 0 ,   0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que